9 replies to this topic

[lethanhson2703]

1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{9abc}{a+b+c}+(c-a)^2$

2. Cho $x+y=1$, $x,y>0$ . TÌm GTNN : $x^3+y^3+xy$

3. Cho $a,b,c,d\epsilon \left [ 0;1 \right ]$. CMR : $\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$

4.Cho $a,b,c\epsilon \left [ 1;2\right ]$. CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

5. Cho $a,b,c\geq 1$. CMR : $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Edited by lethanhson2703, 27-08-2014 - 20:29.

[datmc07061999]

1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{9abc}{a+b+c}+(c-a)^2$

2. Cho $x+y=1$, $x,y>0$ . TÌm GTNN : $x^3+y^3+xy$

1) BĐT $\Leftrightarrow b^{2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}-2ac\Leftrightarrow b^{2}a+b^{3}+b^{2}c\geq 9abc-2ac(a+b+c) \Leftrightarrow b^{2}a+b^{3}+b^{2}c+2a^{2}c+2ac^{2}\geq 7abc$.

BĐT này đúng vì theo $AM-GM$ với 7 số.

2) $P=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xy=x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$.

Vậy $MinP=$ $\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$.

 P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha.

[phamquanglam]

4.Cho $a,b,c\epsilon \left [ 1;2\right ]$. CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

Ta có:

$(a-1)(a-2)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Rightarrow a+\frac{2}{a}\leq 3$

Làm tương tự cho $b,c$

Cộng hết vào ta có:

$\sum a+\sum \frac{2}{a}\leq 9$

Mặt khác: $9^{2}\geq (\sum a+\sum \frac{2}{a})^{2}\geq 4\sum a.\sum \frac{2}{a}\Rightarrow 9^{2}\geq 8\sum a.\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \sum a.\sum \frac{1}{a}\leq \frac{81}{8}$

Em xem lại đi!!!!!!

[happyfree]

 

2. Cho $x+y=1$, $x,y>0$ . TÌm GTNN : $x^3+y^3+xy$

Ta có $x^3+y^3+xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy=x^2+y^2$

Từ $x+y=1$ ta có $x^2+y^2+2xy=1$ mà $x^2+y^2\geq 2xy$ suy ra $x^2+y^2\geq \frac{1}{2}$

Edited by happyfree, 27-08-2014 - 20:38.

[huyhoangfan]

 

5. Cho $a,b,c\geq 1$. CMR : $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Bài này đã có ở đây

[happyfree]

 

5. Cho $a,b,c\geq 1$. CMR : $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Trước hết chứng minh $\frac{1}{a(b+1)}\geq \frac{1}{1+ab}$

Ta có $\frac{1}{a(b+1)}-\frac{1}{1+ab}=\frac{a-1}{(1+ab)^2+(a-1)(1+ab)}\geq 0$

$\frac{1}{a(b+1)}\geq \frac{1}{1+ab}\geq \frac{1}{1+abc}$

Chứng minh tương tự như trên suy ra điều phải chứng minh

Edited by happyfree, 27-08-2014 - 22:14.

[hoctrocuaZel]

1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{9abc}{a+b+c}+(c-a)^2$ 

1/ BĐT tương đương: $b^2+2ac\geq \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)(b^2+ac+ac)\geq 3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^2}=9abc\rightarrow \textit{True}$

p/s: Đây là bài TTT số tháng 5+6/2014 (đã hết hạn)

[Lam Ba Thinh]

Ta có:

$(a-1)(a-2)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Rightarrow a+\frac{2}{a}\leq 3$

Làm tương tự cho $b,c$

Cộng hết vào ta có:

$\sum a+\sum \frac{2}{a}\leq 9$

Mặt khác: $9^{2}\geq (\sum a+\sum \frac{2}{a})^{2}\geq 4\sum a.\sum \frac{2}{a}\Rightarrow 9^{2}\geq 8\sum a.\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \sum a.\sum \frac{1}{a}\leq \frac{81}{8}$

Em xem lại đi!!!!!!

Mình nghĩ bạn mới xem lại vì bạn chưa xét đến dấu "=" xảy ra khi nào mà?

[lethanhson2703]

1/ BĐT tương đương: $b^2+2ac\geq \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)(b^2+ac+ac)\geq 3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^2}=9abc\rightarrow \textit{True}$

p/s: Đây là bài TTT số tháng 5+6/2014 (đã hết hạn)

Mình đăng lên để tìm nhiều kq hay ...

Sao mình chưa nhận TTT số tháng 7+8/2014 vậy??

[lethanhson2703]

Ta có:

$(a-1)(a-2)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Rightarrow a+\frac{2}{a}\leq 3$

Làm tương tự cho $b,c$

Cộng hết vào ta có:

$\sum a+\sum \frac{2}{a}\leq 9$

Mặt khác: $9^{2}\geq (\sum a+\sum \frac{2}{a})^{2}\geq 4\sum a.\sum \frac{2}{a}\Rightarrow 9^{2}\geq 8\sum a.\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \sum a.\sum \frac{1}{a}\leq \frac{81}{8}$

Em xem lại đi!!!!!!

BÀi này nằm trong sách tài liệu chuyên toán THCS đại số lớp 9 bài 3.14 nên có lẽ đề khong sai đâu