Chủ đề này có 6 trả lời

[vuotquatrongai98]

cho $a,b,c > 0.$ Cmr  $(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}) \geq \frac{9}{4}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 28-08-2014 - 21:40

[phamquanglam]

cho $a,b,c > 0.$ Cmr  $(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}) \geq \frac{9}{4}$

Bài này công nhận kinh nhỉ?????

Đặt: $x=a+b$; $y=b+c$; $z=c+a$

Nên ta phải đi chứng minh:

$(2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq \frac{9}{4}$

Sau khi biến đổi 1 loạt, ta có điều sau đây:

$(\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^{2}})(b-c)^{2}+(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^{2}})(a-c)^{2}+(\frac{2}{ab}+\frac{1}{c^{2}})(a-b)^{2}\geq 0$

Đặt: $S_{a}=\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^{2}}; S_{b}=\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^{2}}; S_{c}=\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^{2}}$

Thì ta cần chứng minh:

$S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Dễ nhận thấy rằng $S_{a}\geq 0\Rightarrow S_{a}(b-c)^{2}\geq 0$

Nên ta cần đi chứng minh $S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$ nữa là đủ.

Lại có: $ab\geq ac\Leftrightarrow ab-bc\geq ac-bc\Leftrightarrow b(a-c)\geq c(a-b)\Rightarrow \frac{a-c}{a-b}\geq \frac{c}{b}\Rightarrow (\frac{a-c}{a-b})^{2}\geq \frac{c^{2}}{b^{2}}$

Từ đó:

$S_{b}(a-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}=(a-b)^{2}(S_{b}\frac{(a-c)^{2}}{(a-b)^{2}}+S_{c})\geq (a-b)^{2}(S_{b}\frac{c^{2}}{b^{2}}+S_{c})\geq 0\Rightarrow S_{b}\frac{c^{2}}{b^{2}}+S_{c}\geq 0\Rightarrow c^{2}S_{b}+b^{2}S_{c}\geq 0$

Thay vào rồi tính tiếp. Sử dụng $a=x+y\leq x+z+y+z=b+c$

Ta ra được 1 điều luôn đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 29-08-2014 - 16:11

[phamxuanvinh08101997]

Bài này công nhận kinh nhỉ?????

Đặt: $x=a+b$; $y=b+c$; $z=c+a$

Nên ta phải đi chứng minh:

$(2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq \frac{9}{4}$

Sau khi biến đổi 1 loạt, ta có điều sau đây:

$(\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^{2}})(b-c)^{2}+(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^{2}})(a-c)^{2}+(\frac{2}{ab}+\frac{1}{c^{2}})(a-b)^{2}\geq 0$

Đặt: $S_{a}=\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^{2}}; S_{b}=\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^{2}}; S_{c}=\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^{2}}$

Thì ta cần chứng minh:

$S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Dễ nhận thấy rằng $S_{a}\geq 0\Rightarrow S_{a}(b-c)^{2}\geq 0$

Nên ta cần đi chứng minh $S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$ nữa là đủ.

Lại có: $ab\geq ac\Leftrightarrow ab-bc\geq ac-bc\Leftrightarrow b(a-c)\geq c(a-b)\Rightarrow \frac{a-c}{a-b}\geq \frac{c}{b}

\Rightarrow (\frac{a-c}{a-b})^{2}\geq \frac{c^{2}}{b^{2}}$

Từ đó:

$S_{b}(a-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}=(a-b)^{2}(S_{b}\frac{(a-c)^{2}}{(a-b)^{2}}+S_{c})\geq (a-b)^{2}(S_{b}\frac{c^{2}}{b^{2}}+S_{c})\geq 0\Rightarrow S_{b}\frac{c^{2}}{b^{2}}+S_{c}\geq 0\Rightarrow c^{2}S_{b}+b^{2}S_{c}\geq 0$

Thay vào rồi tính tiếp. Sử dụng $a=x+y\leq x+z+y+z=b+c$

Ta ra được 1 điều luôn đúng.

Bài này ở Iran 96 tất nhiên là kinh ồi

[vuotquatrongai98]

Bạn giải thích cho mình là tại sao bạn tách đươc đẳng thức đó ở chỗ sau một loạt biến đổi ?

[phamxuanvinh08101997]

Bạn giải thích cho mình là tại sao bạn tách đươc đẳng thức đó ở chỗ sau một loạt biến đổi ?

Cái này không nhầm thì đây là pp S.O.S nội dung của việc tách cũng như cm bằng pp này có rất nhiều trên mạng .Thân!

[phamquanglam]

Bạn giải thích cho mình là tại sao bạn tách đươc đẳng thức đó ở chỗ sau một loạt biến đổi ?

Ở đây ta dùng không gian vecto và phép biến hình để tách từng phần tử ra 1!

Nói chung là có phương pháp! Đọc trong Sáng tạo BĐT thì hiểu đc 1 phần!

 

Cái này không nhầm thì đây là pp S.O.S nội dung của việc tách cũng như cm bằng pp này có rất nhiều trên mạng .Thân!

Nói oai nỉ?????????  

[chardhdmovies]

xem ở đây

 

                                                                               NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 03-09-2014 - 12:21