Chủ đề này có 2 trả lời

[PT Quang 831]

1) Cho $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa

    i) $f(0)=f(1)$

    ii) $2f(x)+f(y)=3f(2x+y)$   $\forall x,y \epsilon [0;1]$

CMR: $f(x)=0,\forall x$

2) Cho $f$ $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y)$

a. CMR: $f(rx)=rf(x),\forall x\epsilon \Re ,r\epsilon \mathbb{Q}$
b. CMR: Giả sử $f$ liên tục thì $f(x)=xf(1),\forall x\epsilon \mathbb{R}$    

[shinichigl]

 

2) Cho $f$ $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x+y)=f(x)+f(y)$    (1)

a. CMR: $f(rx)=rf(x),\forall x\epsilon \Re ,r\epsilon \mathbb{Q}$
b. CMR: Giả sử $f$ liên tục thì $f(x)=xf(1),\forall x\epsilon \mathbb{R}$    

a. Trong (1) lấy $y=x$ ta được $f\left ( 2x \right )=2f\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R}$ (2)

Trong (2) lấy $x=0$ ta được $f(0)=0$.

Từ (1) và (2) và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được $f\left ( nx \right )=nf\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{N}$ (3)

Trong (1) lấy $y=-x$ và sử dụng $f(0)=0$ ta được $f\left ( -x \right )=-f\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R}$ (4)

Bởi vậy khi $n=-1,-2,...$, sử dụng (3) và (4) ta có $f\left ( nx \right )=f\left ( -n\left ( -x \right ) \right )=-nf\left ( -x \right )=nf\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R}$ (5)

Từ (3) và (5) suy ra $f\left ( nx \right )=nf\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{Z}$ (6)

Với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ và $m>0$, sử dụng (6) ta có $f\left ( nx \right )=f\left ( m.\frac{n}{m}.x \right )=mf\left ( \frac{n}{m}.x \right )=nf\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Suy ra, với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ và $m>0$, ta có $f\left ( \frac{n}{m}.x \right )=\frac{n}{m}f\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Bởi vậy $f\left ( rx \right )=rf\left ( x \right )$, $\forall x\in \mathbb{R},\forall r\in \mathbb{Q}$ (8)

 

b. Trong (8) lấy $x=1$ ta được $f\left ( r \right )=rf\left ( 1 \right )$, $\forall r\in \mathbb{Q}$

Với mỗi $x\in \mathbb{R}$ tồn tại dãy số hữu tỉ $\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{+\infty }$ sao cho $\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$.

Vì $f$ liên tục nên

$f\left ( x \right )=f\left ( \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left ( r_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}f\left ( 1 \right )=f\left ( 1 \right )\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=f\left ( 1 \right )x$

Vậy $f\left ( x \right )=xf\left ( 1 \right )$, $\forall x\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 30-08-2014 - 18:19

[TonnyMon97]

Bài 1: Trong $(ii)$ thay $x=0$ ta được $f(y)=0 \forall y \in [0;1] $

Làm vậy có đúng không?