Chủ đề này có 1 trả lời

[HoangHungChelski]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
$$(2^a+1)^b=(2^c-1)^d$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 30-08-2014 - 00:55

[luuvanthai]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
$$(2^a+1)^b=(2^c-1)^d$$

 

Nghĩ khá lâu mới ra cái cách 'củ đậu' này:

Dễ thấy c$\geq 2$ vì c=1 không tm

TH1:d lẻ .

*,Nếu a,b,d$\geq 2$ thì $(2^{a}+1)^{b}=(2^{c}-1)^{d}\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{b}\binom{b}{k}(2^{a})^{b-k}=\sum_{k=0}^{d}\binom{d}{k}(2^{c})^{d-k}(-1)^{k}\Leftrightarrow 2+\sum_{k=0}^{b-1}\binom{k}{b}(2^{a})^{b-k}=\sum_{k=0}^{d-1}\binom{k}{d}(2^{c})^{d-k}(-1)^{k}$

$\Rightarrow 4|2$(vô lý)

*,Xét các TH

+,a=1$\Rightarrow 3^{b}=(2^{c}-1)^{d}$$\Rightarrow x=3^{m}\Rightarrow 2^{c}-1=3^{m}$

Ta có $2^{c}\equiv 1(mod3)\Leftrightarrow c=2c'$

$\Rightarrow (2^{c'})^{2}-1=(2^{c'}-1)(2^{c'}+1)=3^{m}$(1)

Đặt $d=gcd(2^{c'}-1;2^{c'}+1)\Rightarrow d=1$

Do đó $(1)\Leftrightarrow 2^{c'}-1=1;2^{c'}+1=3^{m}\Leftrightarrow c'=1;m=1\Leftrightarrow c=2;b=d$

Ta có (a,b,c,d)=(1,g,2,g) tm

+,b=1 thì $2^{a}+1=(2^{c}-1)^{d}\Leftrightarrow v_{2}(2^{a})=v_{2}((2^{c}-1)^{d}-1)\Rightarrow a=1\Rightarrow c=2,d=1$

Ta có (a,b,c,d)=(1,1,2,1) tm

+,d=1 thì $(2^{a}+1)^{b}+1=2^{c}\Rightarrow v_{2}((2^{a}+1)^{b}+1)=v_{2}(2^{c})\Rightarrow c=2\Rightarrow a=1,b=1$

Ta có (a,b,c,d)=(1,1,2,1) tm

TH2:d chẵn$\Rightarrow (2^{c}-1)^{d}$ là số CP$\Rightarrow 2^{a}+1$ là SCP hoặc b chẵn 

Xét $2^{a}+1=k^{2}\Leftrightarrow 2^{a}=(k-1)(k+1)$

Đặt d=(k+1,k-1)$\Rightarrow d|2\Rightarrow d=1;2$

+,d=1 thì $k-1=1;k+1=2^{a}\Rightarrow k=2;3=2^{a}(L)$

+,d=2 thì $k-1=2;k+1=2^{a-1}\Leftrightarrow k=3;a=3\Rightarrow 3^{b}=(2^{c}-1)^{d'};(d=2d')$-------------giống TH a=1 ở TH1

ta có (c,d')=(2,b)$\Rightarrow (a,b,c,d)=(3,b,2,2b)$ tm

Xét b chẵn ($d=2^{v}y;b=2^{u}.x($,x,ylẻ;u,v>0)

Khi đó $((2^{a}+1)^{x})^{2^{u}}=((2^{c}-1)^{y})^{2^{v}}$

*,Nếu $u> v \Rightarrow 2^{c}-1$ là SCP

$\Rightarrow 2^{c}-1=k^{2}\Rightarrow c=1,k=1$ (vì nếu c>1 thì $2^{c}-1$ chia 4 dư 3 không thể là SCP)

*,Nếu $u< v$ thì $2^{a}+1$ là SCP (tương tự như trên)

*,Nếu $u=v \Rightarrow (2^{a}+1)^{x}=(2^{c}-1)^{y}$ với y lẻ ----------quay về TH1

KL:$(a,b,c,d)=(1,g,2,g);(3,g,2,2g)$ -g nguyên dương

P/S:Mình nhớ không nhầm thì đây là 1 bài trong tuyển tập olimpic 30/4 lớp 10-2012-2013 nhưng mà lại không biết đáp án mới làm dài---------------------------------------------------------như thế này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 31-08-2014 - 11:09