Cho a,b,c thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$(a+b+c+3)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$ :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$(a+b+c+3)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$
#1
Đã gửi 30-08-2014 - 10:12
#2
Đã gửi 30-08-2014 - 10:30
Cho a,b,c thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$(a+b+c+3)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$ :
ta có $(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})=((a+1)+(b+1)+(c+1))=(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$
$\geq (\sum \sqrt{a+1}\frac{1}{\sqrt{a+1}})^{2}=9$
dấu = xảy ra <=> a=b=c=0
Trần Quốc Anh
#3
Đã gửi 30-08-2014 - 12:27
Xét BĐT : $\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$
dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ x=y=z
CM : $\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )-9=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1-9=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right )+\left ( \frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right )+\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c}-2 \right )$
Áp dụng BĐT Côsi vào 3 biểu thức trong ngoặc ta có đpcm
Áp dụng BĐT trên ta có : $\left ( a+b+c+3 \right )\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \right )=\left ( a+1+b+1+c+1 \right )\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \right )\geq 9$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a+1=b+1=c+1$ hay $a=b=c$
Do $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$ $\Rightarrow a=b=c=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 30-08-2014 - 12:33
Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết
Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.
Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.
#4
Đã gửi 30-08-2014 - 15:03
Các bạn nghĩ đề bài cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$ để làm gì vậy
Đề đúng là tìm max
Đây là một đề của THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương (2012-2013)
<Bạn nào có TH&TT tháng 7 - 2013 mở ra xem có đáp án không >
http://diendantoanho...frac11bfrac11c/
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh