Chủ đề này có 5 trả lời

[dobati]

Chứng minh qui nạp: $(1+\frac{1}{n})^{k} < \frac{n^{2}}{k^{2}}+\frac{n}{k} +1 (1\leq k\leq n)$ ( qui nạp theo k)

[Bui Ba Anh]

Bổ đề: với $n\geq 1$ thì ta luôn có $(1+\frac{1}{n})^{n}< 3$ (bổ đề này quen thuộc nên mình không chứng minh, $VMF$ cũng đăng $2;3$ lần rồi thì phải )

Vì $1+\frac{1}{n}\geq 1=>(1+\frac{1}{n})^{k}\leq (1+\frac{1}{n})^{n}(1\leq k\leq n)< 3(1)$

Mặt khác $1\leq k\leq n=>\frac{n^{2}}{k^{2}}+\frac{n}{k}+1 \geq1+1+1=3(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có ngay $Q.E.D$

A-Q:) 

[dobati]

Nếu chứng minh theo kiểu qui nạp mà không dùng đến bổ đề thì sao ạ? 

[Bui Ba Anh]

Bài này không dùng bổ đề thì quả là khó khăn đấy bạn vì $k$ liên quan đến mũ và nằm dưới mẫu nên rất khó chịu

A-Q:)

[Namthemaster1234]

Bổ đề: với $n\geq 1$ thì ta luôn có $(1+\frac{1}{n})^{n}< 3$ (bổ đề này quen thuộc nên mình không chứng minh, $VMF$ cũng đăng $2;3$ lần rồi thì phải )

Bạn có thể chứng minh lại cho mình được không!!

tks nhiều

[xxthieuongxx]

BĐT đúng với n=1.

Với n=2, theo khai triển $(a+b)^{n}$ có:

$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{n^{2}}+...+ \frac{n(n-1)..2.1}{n^{n}}< 2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})$.

Ta sẽ chứng minh: $2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})<3$.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.(n-1)}$.

$\Leftrightarrow 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2+1-\frac{1}{n}<3$.

$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{n})^{n}<3$.