Chủ đề này có 7 trả lời

[Viet Hoang 99]

ĐỒNG BẬC

$1)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{(a+b-c)^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

 

$2)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

 

$3)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{(a+b-c)^3}{2c^3+(a+b)^3}\geq \frac{3}{10}$

 

[Mikhail Leptchinski]

ĐỒNG BẬC

$1)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{(a+b-c)^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

 

$2)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

 

$3)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{(a+b-c)^3}{2c^3+(a+b)^3}\geq \frac{3}{10}$

1,Vì đa thức đồng bậc nên không mất tính tổng quát chuẩn hóa $a+b+c=3$

Ta có $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}=2-\frac{9}{2a^2-6a+9}$

Tương tự ta có đpcm <=>$\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}$$\leq \frac{3}{5}$

Áp dụng phương pháp xét hàm một biến đánh giá được $\frac{2(a-1)(a-2)}{2a^2-6a+9}=\frac{5}{2a^2-6a+9}-1\geq \frac{-2(a-1)}{5}$

Biến đổi tương đương nhé bạn:$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$ đúng

Từ đó suy ra $\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{1}{5}-\frac{2}{25}(a-1)$ 

cộng vào kết hợp với chuẩn hóa đến điều phải chứng minh

 

Đây là bài toán thi Japan MO 2002!

 

2,Cũng tương tự chuẩn hóa $a+b+c=3$

Điều phải chứng minh thành 

$\sum \frac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq 8$

xong rồi cũng xét hàm tương tự

Bài toán thi  USA MO 2003

[khanghaxuan]

1,Vì đa thức đồng bậc nên không mất tính tổng quát chuẩn hóa $a+b+c=3$

Ta có $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}=2-\frac{9}{2a^2-6a+9}$

Tương tự ta có đpcm <=>$\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}$$\leq \frac{3}{5}$

Áp dụng phương pháp xét hàm một biến đánh giá được $\frac{2(a-1)(a-2)}{2a^2-6a+9}=\frac{5}{2a^2-6a+9}-1\geq \frac{-2(a-1)}{5}$

Biến đổi tương đương nhé bạn:$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$ đúng

Từ đó suy ra $\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{1}{5}-\frac{2}{25}(a-1)$ 

cộng vào kết hợp với chuẩn hóa đến điều phải chứng minh

 

Đây là bài toán thi Japan MO 2002!

 

2,Cũng tương tự chuẩn hóa $a+b+c=3$

Điều phải chứng minh thành 

$\sum \frac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq 8$

xong rồi cũng xét hàm tương tự

Bài toán thi  USA MO 2003

Dòng này có pp gì không bạn ? Chứ nhìn mơ hồ quá !

[Viet Hoang 99]

Dòng này có pp gì không bạn ? Chứ nhìn mơ hồ quá !

pp UCT (search google nhé)

[Mikhail Leptchinski]

Dòng này có pp gì không bạn ? Chứ nhìn mơ hồ quá !

Bạn nhìn bậc cùng bậc nên có thể dùng chuẩn hóa đều bậc 2.Còn nếu giả sử tử bậc 1 mẫu bậc 2 thì không thể dùng chuẩn hóa được!Còn phương pháp xét hàm một biến thì cũng dạng kiểu biến đổi tương đương bạn à!

[Viet Hoang 99]

1,Vì đa thức đồng bậc nên không mất tính tổng quát chuẩn hóa $a+b+c=3$

Ta có $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}=2-\frac{9}{2a^2-6a+9}$

Tương tự ta có đpcm <=>$\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}$$\leq \frac{3}{5}$

Áp dụng phương pháp xét hàm một biến đánh giá được $\frac{2(a-1)(a-2)}{2a^2-6a+9}=\frac{5}{2a^2-6a+9}-1\geq \frac{-2(a-1)}{5}$

Biến đổi tương đương nhé bạn:$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$ đúng

Từ đó suy ra $\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{1}{5}-\frac{2}{25}(a-1)$ 

cộng vào kết hợp với chuẩn hóa đến điều phải chứng minh

 

Không biết dòng màu đỏ có đúng không (chưa thử) nhưng nếu UCT thì ra luôn cái đó, không cần dòng xanh

[Vo Sy Nguyen]

1,Vì đa thức đồng bậc nên không mất tính tổng quát chuẩn hóa $a+b+c=3$

Ta có $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}=2-\frac{9}{2a^2-6a+9}$

Tương tự ta có đpcm <=>$\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}$$\leq \frac{3}{5}$

Áp dụng phương pháp xét hàm một biến đánh giá được $\frac{2(a-1)(a-2)}{2a^2-6a+9}=\frac{5}{2a^2-6a+9}-1\geq \frac{-2(a-1)}{5}$

Biến đổi tương đương nhé bạn:$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$$(a-1)^2(2a+1)\geq 0$ đúng

Từ đó suy ra $\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{1}{5}-\frac{2}{25}(a-1)$ 

cộng vào kết hợp với chuẩn hóa đến điều phải chứng minh

 

Cho mình hỏi chuẩn hóa là gì và tại sao bạn có chuẩn hóa như vậy được không?

[chardhdmovies]

Cho mình hỏi chuẩn hóa là gì và tại sao bạn có chuẩn hóa như vậy được không?

chuẩn hóa là dành cho bđt đối xứng và thuần nhất

đối xứng thì dễ hiểu rồi

còn thuần nhất thì nếu đặt $a=tx;b=ty;c=tz$ thì bđt không đổi

như bài $1$ nếu không muốn nói là chuẩn hóa thì có thể đặt $x=\frac{3a}{a+b+c};y=\frac{3b}{a+b+c};z=\frac{3c}{a+b+c}$ thì ta có $x+y+z=3$ và bđt vẫn không đổi

 

NTP