Chủ đề này có 3 trả lời

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c>0$. Tìm max, min của biểu thức:

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$

----------------------------------------------------------------------------------

P/s: Các thánh chém hộ mạnh mạnh nhé

[Rias Gremory]

Cho $a,b,c>0$. Tìm max, min của biểu thức:

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$

----------------------------------------------------------------------------------

P/s: Các thánh chém hộ mạnh mạnh nhé

$P=\frac{a}{b+c}+1+\frac{4b}{a+c}+4+\frac{9c}{a+b}+9-14=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b} \right )$

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy:

$\sqrt{\frac{1}{b+c}},\sqrt{\frac{4}{a+c}},\sqrt{\frac{9}{a+b}}$ và $\sqrt{b+c},\sqrt{a+c},\sqrt{a+b}$

Ta có: $\left ( \frac{1}{b+c} + \frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b}\right )\left ( a+b+b+c+a+c \right )\geq \left ( 1+2+3 \right )^{2}\Rightarrow \left ( \frac{1}{b+c} + \frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b}\right )\geq \frac{18}{a+b+c}$

[QuynhTam]

$P=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{9}{b+c})-1-4-9$

Áp dụng Cauchy-Schawrt có: 

$\frac{1}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{9}{b+c}\geq \frac{(1+2+3)^2}{2(a+b+c)}$

=>$P\geq 18$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 05-09-2014 - 21:54

[lahantaithe99]

$P=\frac{a}{b+c}+1+\frac{4b}{a+c}+4+\frac{9c}{a+b}+9-14=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b} \right )$

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy:

$\sqrt{\frac{1}{b+c}},\sqrt{\frac{4}{a+c}},\sqrt{\frac{9}{a+b}}$ và $\sqrt{b+c},\sqrt{a+c},\sqrt{a+b}$

Ta có: $\left ( \frac{1}{b+c} + \frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b}\right )\left ( a+b+b+c+a+c \right )\geq \left ( 1+2+3 \right )^{2}\Rightarrow \left ( \frac{1}{b+c} + \frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b}\right )\geq \frac{18}{a+b+c}$

 

$P=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{9}{b+c})-1-4-9$

Áp dụng Cauchy-Schawrt có: 

$\frac{1}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{9}{b+c}\geq \frac{(1+2+3)^2}{a+b+c}$

=> $P\geq 36$

Dạ haj anh chj cho em hỏj dấu = xảy ra khj nào ak