Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3+x(y-z)^2=2\\ y^3+y(z-x)^2=30 \\ z^3+z(x-y)^2=16 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 07-09-2014 - 15:09

[Hoang Tung 126]

Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3+x(y-z)^2=2\\ y^3+y(z-x)^2=30 \\ z^3+z(x-y)^2=16 \end{matrix}\right.$$

$\left\{\begin{matrix} x^3+x(y-z)^2=2 & (1)& \\ y^3+y(z-x)^2=30 & (2) & \\ z^3+z(x-y)^2=16& (3)& \end{matrix}\right.$

 -Nếu $x=y=z=0$.Thay vào hệ thấy vô lý

 

-Nếu tồn tại ít nhất 1 số khác $0$ thì $x^2+y^2+z^2> 0$

 

Lấy pt (3) $-$(1) $= > z^3-x^3+xz(x-z)+y^2(z-x)=14= > (z-x)(z^2+x^2+y^2)=14$ (4)

Lây pt (2)$-$ (1) $= > y^3-x^3+z^2(y-x)+xy(x-y)=28= > (y-x)(y^2+x^2+z^2)=28$  (5)

 

  Từ (4),(5) $= > 2(z-x)(x^2+y^2+z^2)=(y-x)(x^2+y^2+z^2)= > 2z-2x=y-x< = > x=2z-y$ (Do $x^2+y^2+z^2> 0$)

Thay vào pt (1) $= > 8(2z-y)^3+8(2z-y)(y-z)^2=16=z^3+z(x-y)^2 =z^3+z(2z-2y)^2< = > 8(2z-y)^3+8(2z-y)(y-z)^2=z^3+4z(z-y)^2< = > 75z^3-128yz^2+76y^2z-16y^3=0$

-Dễ thấy $y=0$ không là nghiệm vì không thỏa mãn pt (2) của hệ

-Xét $y$ khác 0 .Chỉa cả 2 vế của pt cho $y^3$

 

  $= > 75(\frac{z}{y})^3-128(\frac{z}{y})^2+76\frac{z}{y}-16=0$

Đặt $\frac{z}{y}=t= > 75t^3-128t^2+76t-16=0< = > (3t-2)(25t^2-26t+8)=0< = > t=\frac{2}{3}$ (Do $25t^2-26t+8> 0$)

 $= > \frac{z}{y}=\frac{2}{3}= > z=\frac{2y}{3}= > x=2z-y=\frac{y}{3}$

Thay vào pt (1) $= > (\frac{y}{3})^3+\frac{y}{3}(y-\frac{2y}{3})^2=2= > y=3= > z=2,x=1$

 

         Vậy  $(x,y,z)=(1,3,2)$