Chủ đề này có 4 trả lời

[ldvhuy09]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$1) f(1)=1$

$2) f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in \mathbb{R} $

$3) f(x)f(\frac{1}{x})=1 \forall x\neq 0$

[caybutbixanh]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$1) f(1)=1$

$2) f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in \mathbb{R} $

$3) f(x)f(\frac{1}{x})=1 \forall x\neq 0$

Mình làm thế này sai ở đâu mong các bạn góp ý .....

Rất quen thuộc từ phương trình thứ hai, ta suy ra $f(x)=ax ,\in\mathbb{R}$, $a$ tùy ý

Thay vào phương trình đầu, ta được $a=1$. Do đó $f(x)=x,\in\mathbb{R}$

Thay vào (3) ta thấy thỏa mãn.

Vậy $f(x)=x,\in\mathbb{R}$

[ngocvan99]

Mình làm thế này sai ở đâu mong các bạn góp ý .....

Rất quen thuộc từ phương trình thứ hai, ta suy ra $f(x)=ax ,\in\mathbb{R}$, $a$ tùy ý

Thay vào phương trình đầu, ta được $a=1$. Do đó $f(x)=x,\in\mathbb{R}$

Thay vào (3) ta thấy thỏa mãn.

Vậy $f(x)=x,\in\mathbb{R}$

 

Bạn giải thích rõ hơn từ pt 2 suy ra $f(x)=ax$ được không. tks nhé 

[Kool LL]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$1) f(1)=1$

$2) f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in \mathbb{R} $

$3) f(x)f(\frac{1}{x})=1 \forall x\neq 0$

 

Mình làm thế này sai ở đâu mong các bạn góp ý .....

Rất quen thuộc từ phương trình thứ hai, ta suy ra $f(x)=ax ,\in\mathbb{R}$, $a$ tùy ý

Thay vào phương trình đầu, ta được $a=1$. Do đó $f(x)=x,\in\mathbb{R}$

Thay vào (3) ta thấy thỏa mãn.

Vậy $f(x)=x,\in\mathbb{R}$

 

(2) được gọi là "cộng tính", là đặc trưng của hàm "tuyến tính" $f(x)=ax$, nhưng ko phải chỉ hàm "tuyến tính" mới có đặc trưng "cộng tính" này. Chỉ có thể dùng nó để đoán kết quả thôi, dùng để CM thì bài ko chặc chẽ vì ko có định lí nào để suy ra kết luận như vậy.

 

Tuy nhiện ta lại có các định lí sau :

1/ Nếu $f$ cộng tính trên $\mathbb{R}$ thì chỉ suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb{Q}$, tức là $f(x)=ax,\ \forall x\in\mathbb{Q}$

2/ Nếu $f$ cộng tính trên $\mathbb{R}$ và liện tục (tại 1 điểm hoặc trên cả $\mathbb{R}$) thì suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb{R}$, tức là $f(x)=ax,\ \forall x\in\mathbb{R}$

3/ Nếu $f$ cộng tính trên $\mathbb{R}$ và khả tích (địa phương hay trên cả $\mathbb{R}$) thì suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb{R}$

4/ Nếu $f$ cộng tính và đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên $\mathbb{R}$ thì suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb{R}$

5/ Nếu $f$ cộng tính trên $\mathbb{R}$ và bị chặn (một bên hoặc cả 2 bên) (trên một đoạn, hoặc một khoảng, hoặc trên cả $\mathbb{R}$) thì suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb{R}$

6/ Nếu $f$ cộng tính và nhân tính ($f(x.y)=f(x).f(y)$) trên $\mathbb{R}$ thì suy ra $f$ tuyến tính trên $\mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 09-09-2014 - 14:24

[caybutbixanh]

(2) là đặc trưng của hàm tuyến tính $f(x)=ax$, nhưng ko phải chỉ hàm này mới có đặc trưng này. Chỉ có thể dùng nó để đoán kết quả thôi, dùng để CM thì bài ko chặc chẽ vì ko có định lí nào để suy ra kết luận như vậy.

Vậy bạn có thể cho mình tham khảo lời giải của bạn được không ? Mình mới học phần này nên còn ít kinh nghiệm......cho nên còn nhiều thiếu sót