MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH NHIỆM NGUYÊN,SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Chủ đề nhiệm nguyên,số chính phương là một chủ đè tuy không phải là quá khó nhưng cũng gây cản trở cho không ít người, Vì vậy mình lập TOPIC này cũng mong giải quyết phần nào vấn đề đó .Mong các bạn ủng hộ.
I.Số chính phương
1 Lí thuyết
a,Định nghĩa
-Một số được gọi là Số chính phương nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng bình phương của một số nguyên.
CHÚ Ý : Khi nói một số là số chính phương , giả sử số đó có dạng $n^{2}$ $\left ( n\in N \right )$.Với $m\in Z$ thì$m^{2},\left ( m+1 \right )^{2}$ là hai số chính phương liên tiếp và không có hai số chính phương nào giữa hai số trên.
b,Một số chính phương có tính chất gì?
-Một số chính phương thì chỉ có thể có số tận cùng là 1,4,5,6,9
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4.Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 và chia 8 cũng dư 1
-Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
-Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên p thì đồng thời chia hết cho $p^{2}$
2 Ví dụ mẫu
1. Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$
Chứng minh $\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )$ là một số chính phương
Giải
Dể chứng minh một số là số chính phương ta cần biểu diễn số đó thành bình phương một số nguyên
Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$
=>ab+bc+ca=1
Thay 1=ab+bc+ca ta có
$1+a^{2}=ab+bc+ca+a^{2}=a\left ( a+b \right )+c\left ( a+b \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )$
CM tương tự
=>$1+b^{2}=\left ( b+a \right )\left ( a+c \right )$
$1+c^{2}=\left ( c+a \right )\left ( c+b \right )$
=>$\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )=\left [\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right ) \right ]^{2}$
Lại có a,b,c nguyên
=>$\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )=\left [\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right ) \right ]^{2}$ là số chính phương.
II Phương trình nhiệm nguyên
1 Lí thuyết
Các bạn thì chắc ai cũng biết đến PT nhiệm nguyên nên về mặt này không có gì mới lạ do vậy mình không nhắc lại nữa.
2 Một số phương pháp tìm nhiệm nguyên
a,Thông thường
VD: Tìm nhiệm nguyên của PT
7x - 4y = 23
Giải
Ta có 7x -4y = 23
=>$y=\frac{23-7x}{4}=\frac{24-8x+x-1}{4}=\frac{x-1}{4}+2\left ( 3-x \right )$
Để y nguyên => $\frac{x-1}{4}$ phải nguyên (với x nguyên)
=>$4\in U_{x-1}$
Đặt $\frac{x-1}{4}$ =t ($t\in Z$)
=>x = 4t + 1
<=>y = 4 - 7t
Thư lại thấy thỏa mãn
=>x = 4t + 1 và y =4 - 7t
b,Một số cách khác
(1)Xét số dư
VD: CMR phương trình
$4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+5$
Không có nhiệm nguyên.
Giải
Ta có $4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+5$
=>$4x^{2}+4x+1=8y^{3}-2z^{2}+5$
=>$\left ( 2x+1 \right )^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5$
Giả sử x,y,z là số nguyên
Lại có
$\left ( 2x+1 \right )^{2}$ là bình phương số lẻ
=>$\left ( 2x+1 \right )^{2}$ : 8 dư 1
<=>VT : 8 Dư 1 (1)
Mặt khác
$8y^{3}$:8 không dư
$2z^{2}$:8 dư 2 (nếu z lẻ)
$2z^{2}$:8 dư hết 9 nếu z chẵn)
=>VP:8 dư 3(nếu z lẻ )
VP:8 dư 5 (nếu z chẵn) (2)
Từ (1),(2)
=> Vô lí
=>x,y,z không là số nguyên
(2)Xét ước
VD: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^{2}-10xy-11y^{2}=13$
Giải
Ta có $x^{2}-10xy-11y^{2}=13$
=>$\left ( x+y \right )\left ( x-11y \right )=13$
=> (x + y)và (x-11y) là Ước 13
Mà $U_{13}\in \left \{ 1;-1;13;-13 \right \}$
Có thể lập bảng xét giá trị hoặc cũng có thể thế vào giải hệ phương trình
=>Phương trình có 4 cặp nhiệm nguyên (x;y) là (2;-1), (-2;1), (12;1), (-12;-1)
(3)Sử dụng phương pháp lập luận
VD:Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$
Giải
Gọi $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ là(1) ĐKXĐ: $y\geq 1$
+ Nếu y=-1 thì $x^{2}=1$ => x = $_{-}^{+}\textrm{1}$
+Nếu y=0 thì $x^{2}=1$ => x = $_{-}^{+}\textrm{1}$
+Nếu $y> 0$ => $y+1> 1$
=>$\sqrt{y+1}< y+1< 2y+1$
Ta có $y^{2}< x^{2}$
Mà $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}< 2y+1+y^{2}=\left ( y+1 \right )^{2}$
=>$y< |x|< y+1$
=> PT (1) không có nhiệm nguyên khi $y> 0$
=>PT (1) có 4 cập nhiệm (x;y) là (1;-1),(-1;-1),(1;0),(-1;0)
c,Một số phương pháp thường gặp
-Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình tích
-Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chia hết
-Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách sủ dụng phương pháp đánh giá
VD:Giải phương trình nghiệm nguyên:
$5x^{2}-4xy+y^{2}-6x+8=0$
Giải
Cách 1:Biến đổi phương trình thành $\left ( 2x-y \right )^{2}+\left ( x+3 \right )^{2}=1$
Vì $1=0^{2}+1=0^{2}+(-1)^{2}$ nên ta có các trường hơp sau
$2x-y=0; x-3=1=>(x;y)=(4;8)$
$2x-y=0;x-3=-1=>(x;y)=(2;4)$
$2x-y=1;x-3=0=>(x;y)=(3;5)$
$2x-y=-1;x-3=0=>(x;y)=(3;7)$
Cách 2:Xét phương trình bậc 2 ẩn y : $y^{2}-4xy+\left ( 5x^{2}-6x+8 \right )=0$
Ta có
$\triangle `_{y}=-x^{2}+6x-8=1-(x-3)^{2}\geq 0<=>2\leq x\leq 4$
Xét các trường hợp
=>Kết quả như cách 1
-Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách nguyên tắc cực hạng
Nguyên tắc cực hạng có một kết quả thường dùng để giải PT nhiệm nguyên:Trong một tập hợp khác rỗng các số nguyên dương,luôn chọn ra được một số nguyên dương nhỏ nhất.Để CM tập hợp S các số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán là tập rỗng ,ta giả sử S khác rỗng và khi đó chọn ra phần tử m thuộc S mà m nhỏ nhất, nhưng ngay sau đó nếu ta chỉ ra được 1 số nguyên dương nhỏ hơn m mà thuộc S thì chứng tỏ điều giả sử sai, nghĩa lả S rỗng
Em hơi lười nên hay viết tắt ,các bạn thông cảm nghen,với lại do 1 số phương pháp quá quen thuộc nên mình không ghi ví dụ,sai đâu,thiếu đâu các bạn sửa rùm nha.
Đây chỉ là một trong rất nhiều cách CM khác,En chỉ cung cấp thêm một số phương pháp mới (đối với em).
Mong các anh ,chị có thêm lời góp ý 
III Bài tập thực hành
1 Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^{2}-\left ( y+2 \right )x+3-y=0$
2.Giải phương trình nghiệm nguyên:
$xy-4=2x+3y$
3 Giải phương trình nghiệm nguyên:
$5xy+z+2y=7$
4 Giải phương trình nghiệm nguyên:$12x^{2}+6xy+3y^{2}=28\left ( x+y \right )$
Đây là một số bài thực hành đơn giản (với ai học giỏi, còn em thì không) nhưng dù sao cũng mong mọi người ủng hộ và góp ý cho TOPIC thêm phát triển .Em trân thành cảm ơn 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquan9x: 10-09-2014 - 16:32
