Chủ đề này có 5 trả lời

[huy2403exo]

1. Chứng minh :

a) $3^{4n+1}+2^{2n}.10-13$ $\vdots 64$

b) $16^{n}-15n-1 \vdots 225$

c) $3^{3n+1}-26n-27\vdots 169$

d) $10^{6n-4}+10^{6n-5}+1\vdots 111$

2. Với mọi $n>0$ và $k$ là số tự nhiên lẻ . Chứng minh 

                         $1^k+2^k+...+\left ( 2n \right )^k\vdots n\left ( 2n+1 \right )$

3. Cho $a_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và $b_{n}=2^{2n-1}-2^{n+1}-1$

CMR với mọi số tự nhiên n có 1 và chỉ 1 số trong 2 số $a_{n};b_{n}\vdots 5$

[Bonjour]

1. Chứng minh :

a) $3^{4n+1}+2^{2n}.10-13$ $\vdots 64$

b) $16^{n}-15n-1 \vdots 225$

c) $3^{3n+1}-26n-27\vdots 169$

d) $10^{6n-4}+10^{6n-5}+1\vdots 111$

2. Với mọi $n>0$ và $k$ là số tự nhiên lẻ . Chứng minh 

                         $1^k+2^k+...+\left ( 2n \right )^k\vdots n\left ( 2n+1 \right )$

3. Cho $a_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và $b_{n}=2^{2n-1}-2^{n+1}-1$

CMR với mọi số tự nhiên n có 1 và chỉ 1 số trong 2 số $a_{n};b_{n}\vdots 5$

Quy nạp là ra thôi

[happyfree]

2. Với mọi $n>0$ và $k$ là số tự nhiên lẻ . Chứng minh 

                         $1^k+2^k+...+\left ( 2n \right )^k\vdots n\left ( 2n+1 \right )$

3. Cho $a_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và $b_{n}=2^{2n-1}-2^{n+1}-1$

CMR với mọi số tự nhiên n có 1 và chỉ 1 số trong 2 số $a_{n};b_{n}\vdots 5$

 

2. Đặt $a=2n$

Đặt $A=1^k+2^k+...+a^k$

$2A=(1^k+a^k)+[2^k+(a-1)^k]+...+(a^k+1^k)$

Vì $k$ lẻ nên $1^k+a^k\vdots (a+1);2^k+(a-1)^k\vdots (a+1),...,$ cho nên $2A\vdots (a+1)(1)$

Mặt khác: $2A=[1^k+(a-1)^k]+[2^k+(a-2)^k]+...+[(a-1)^k+1^k]+2a^k$

Vì $k$ lẻ nên $1^k+(a-1)^k\vdots a;2^k+(a-2)^k\vdots a,...,2a^k\vdots a$ cho nên $2A\vdots a(2)$

Từ $(1),(2)$ và $(a,a+1)=1$ suy ra $2A\vdots a(a+1)$

$a(a+1)$ là số chẵn nên $A\vdots \frac{a(a+1)}{2}$ hay $A\vdots \frac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)$

3. Ta có $a_n.b_n=(2^{2n+1}+2^{n+1}+1)(2^{2n+1}-2^{n+1}+1)=((2^{2n+1}+1)^2-(2^{n+1})^2=4^{2n+1}+2.2^{2n+1}+1-2^{2n+2}=4^{2n+1}+1$

Vì $2n+1$ là số lẻ nên $4^{2n+1}+1\vdots (4+1)=5$ suy ra $a_n.b_n\vdots 5$ suy ra $a_n\vdots 5$ hoặc $b_n\vdots 5$

Mà $a_n-b_n=2.2^{2n+1}=2^{2n+2}$ không chia hết cho 5 nên hai số $a_n$ và $b_n$ không thể đồng thời chia hết cho 5

Vậy trong hai số $a_n$ và $b_n$ chỉ có 1 số chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 10-09-2014 - 16:42

[Namthemaster1234]

1. Chứng minh :

a) $3^{4n+1}+2^{2n}.10-13$ $\vdots 64$

b) $16^{n}-15n-1 \vdots 225$

c) $3^{3n+1}-26n-27\vdots 169$

d) $10^{6n-4}+10^{6n-5}+1\vdots 111$

Bài b:

Với $n=0 ; n=1$ thì đúng.

Với $n\geq 2$ thì:

$(16)^n-15n-1=(15+1)^n-15n-1=15^n+n.15^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}.15^n+...+\frac{n(n-1)}{2!}.15^2+n.15+1-15n-1=15^2(15^{n-2}+n.15^{n-3}+...+1)\vdots 15^2=225$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 10-09-2014 - 18:03

[Rias Gremory]

1. Chứng minh :

b) $16^{n}-15n-1 \vdots 225$

c) $3^{3n+1}-26n-27\vdots 169$

$b)$ Với $n=1$ ta có dpcm

Giả sử $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k$ suy ra $16^{k}-15k-1\vdots 225$

Ta sẽ chứng minh $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k+1$

Ta có $16^{n}-15n-1 =16^{k+1}-15(k+1)-1=(16^k-15k-1)+15(16^k-1)$

Vì $16^k-15k-1\vdots 225$ theo giả sử và $15(16^k-1)\vdots 225$ nên $16^{k+1}-15(k+1)-1\vdots 225$

Vậy $16^{n}-15n-1\vdots 225$

Câu $c)$ làm tương tự.

[lethanhson2703]

1. Chứng minh :

b) $16^{n}-15n-1 \vdots 225$

 

b. Ta có $16^n=(15+1)^n=15^n+\frac{n(n-1)}{2}.15^{n-1}+...+15.n-1\equiv 15n+1 ( mod 15^2)$ vì $15^k\vdots 15^2 (k\geq 2)$

suy ra : $16^n-15n-1\equiv 15n+1-15n-1 (mod 15^2)\Rightarrow 16^n-15n-1\equiv 0 (mod 225)\Rightarrow Q.E.D$