Chủ đề này có 1 trả lời

[haptrung]

Cho các số dương a, b, c, d thỏa: $a.b.c.b=1$. Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng:

$\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} + \frac{1}{{1 + d}} \ge \frac{{3 + k}}{2}$

[Kool LL]

 

Cho các số dương a, b, c, d thỏa: $a.b.c.b=1$. Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng:

$S=\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} + \frac{1}{{1 + d}} \ge \frac{{3 + k}}{2}$ (1)

 

 

Cho $a=b=c\to+\infty$ thì $d\to0$ và $S\to1$. Do đó (1) suy ra $1\ge\frac{3+k}{2}\Rightarrow k\le-1$.

Ta sẽ CM $k=-1$ là hằng số tốt nhất. Thật vậy, ta sẽ CM $S>1$ ?

Do $(ab).(cd)=1$ nên chỉ có 2 trường hợp sau :

* Nếu $cd\ge1\ge ab$ thì $S>\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{1}{1+acd}+\frac{acd}{acd+1}=1$

* Nếu $ab\ge1\ge cd$ thì $S>\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\ge\frac{1}{1+abc}+\frac{abc}{abc+1}=1$

Suy ra trong mọi trường hợp luôn có $S>1$.

Vậy $k=-1$ là hằng số tốt nhất sao cho (1) luôn đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 04-10-2014 - 11:44