Chủ đề này có 5 trả lời

[anhswt4857]

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.

 

Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

[Viet Hoang 99]

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.

 

Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Có:
$a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}= (a^2+b^2+c^2)^2$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P\geq t+\frac{1-t}{2t^2}=t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}$

Điểm rơi là $t=\frac{1}{3}$, OK!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 17-09-2014 - 22:30

[anhswt4857]

Có:
$a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}=(a^2+b^2+c^2)^2$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P\geq t+\frac{1-t}{2t^2}=t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}$

Điểm rơi là $t=\frac{1}{3}$, OK!

Bđt đầu tiên phần áp dụng là gì vậy anh?

[hoctrocuaZel]

Bđt đầu tiên phần áp dụng là gì vậy anh?

Áp dụng định lí Svacxo hoặc bạn dùng tương đương cx ra!!!!!

[anhswt4857]

Có:
$a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}= (a^2+b^2+c^2)^2$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P\geq t+\frac{1-t}{2t^2}=t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}$

Điểm rơi là $t=\frac{1}{3}$, OK!

anh nhầm ngay dòng đầu tiên này, $a+b+c=3$ cơ mà!

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.

 

Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Ta có:$ab+bc+ac=\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

ta có $3(a^2+b^2+c^2)$=(a+b+c)($a^2+b^2+c^2$)=$a^3+ab^2+ac^2+b^3+ba^2+bc^2+c^3+a^2c+b^2c$=$(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+ac^2$

Áp dụng bdt AM-GM cho hai số dương ta được:

$a^3+ab^2\geq 2a^2b$.DBXR khi a=b

CMTT:$b^3+bc^2\geq 2b^2c$.DBXR khi b=c

$c^3+ac^2\geq 2ac^2$.DBXR khi a=c

$\Rightarrow (a^3+ab^2)+(b^3+c^2b)+(c^3+ca^2)\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\Rightarrow (a^3+ab^2)+(b^3+c^2b)+(c^3+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)\geq(a^2b+b^2c+c^2a)$.DBXR khi a=b=c

khi đó P$\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}= t+\frac{9-t}{t}$(t=$a^2+b^2+c^2$)

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé