Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Cho đa thức với hệ số thực $P(x)=x^4 + a.x^3+b.x^2+c.x+d$, biết rằng $P(x)=0$ không có nghiệm thực.

Chứng minh $F(x)=P(x) +P'(x)+P''(x)+P'''(x)+P^{(4)}(x)>0$ với mọi số thực $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 21-09-2014 - 20:14

[hoangtubatu955]

Để ý rằng $F'(x)=P'(x)+P''(x)+P'''(x)+P^{(4)}(x)$ nên ta có thể viết gọn lại biểu thức $F(x)$ như sau:
$F(x)=P(x)+F'(x)$
Do $P$ liên tục, vô nghiệm và có hệ số đầu dương nên $P(x)$ luôn lớn hơn không với mọi $x$.
Gọi $a$ là điểm mà $F(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó $a$ cũng chính là nghiệm của đạo hàm $F'(x)$.
Khi đó: $F(a)=P(a)>0$
Do đó ta có điều phải chứng minh!