Tìm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$i) f(-x)= -f(x)$
$ ii) f(x+1) = f(x)+1 $
$iii) f(\frac{1}{x}) = \frac{f(x)}{x^{2}}, \forall x\neq 0$
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^{2}} , \forall x\neq 0$
Bắt đầu bởi ThanhHieu1699, 05-10-2014 - 16:26
#1
Đã gửi 05-10-2014 - 16:26
ThanhHieu1699
-
- Thành viên
-
- 53 Bài viết
Hạ sĩ
- ThanhHieuBN yêu thích
Khó khăn bạn gặp hôm nay sẽ làm tăng thêm sức mạnh bạn cần cho ngày mai. Đừng bỏ cuộc
#2
Đã gửi 06-10-2014 - 15:50
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Tìm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$i) f(-x)= -f(x)$
$ ii) f(x+1) = f(x)+1 $
$iii) f(\frac{1}{x}) = \frac{f(x)}{x^{2}}, \forall x\neq 0$
Áp dụng hết các giả thiết ta có :
$f(1-\frac{1}{x})=f(-\frac{1}{x})+1=-f(\frac{1}{x})+1=\frac{-f(x)}{x^2}+1$ (1)
$f(1-\frac{1}{x})=f(\frac{x-1}{x})=f(\frac{1}{\frac{x}{x-1}})=\frac{f(\frac{x}{x-1})}{(\frac{x}{x-1})^2}=\frac{f(1+\frac{1}{x-1})}{(\frac{x}{x-1})^2}=\frac{f(\frac{1}{x-1})+1}{(\frac{x}{x-1})^2}=\frac{\frac{f(x-1)}{(x-1)^2}+1}{(\frac{x}{x-1})^2}=\frac{f(x-1)+(x-1)^2}{x^2}=\frac{f(-(1-x))+(x-1)^2}{x^2}=\frac{-f(1-x)+(x-1)^2}{x^2}=\frac{-\left [ 1+f(-x) \right ]+(x-1)^2}{x^2}=\frac{x^2-2x+f(x)}{x^2}$ (2)
Từ (1),(2) $= > 1-\frac{f(x)}{x^2}=\frac{x^2-2x+f(x)}{x^2}< = > f(x)=x$ thỏa mãn bài toán
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
