Chủ đề này có 3 trả lời

[vuminhhoang]

Cho $x, y, z \geq 0 : x^2+y^2+z^2=1$

 

Tìm max, min $P=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}$

[TonnyMon97]

Tìm Max:

Ta có: $P\le \frac{x}{1+yz}+y+z=x+y+z-\frac{xyz}{1+yz}\le x+y+z$

Mà $1-x^2=y^2+z^2\ge \frac{(y+z)^2}{2} \Rightarrow x+y+z\le x+\sqrt{2(1-x^2)}=2x+\sqrt{2(1-x^2)}-x\le \sqrt{2}$

Dấu bằng có khi $(x;y;z)=(0;\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TonnyMon97: 06-10-2014 - 18:36

[NDP]

Cho $x, y, z \geq 0 : x^2+y^2+z^2=1$

 

Tìm max, min $P=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}$

Lời giải:

1) Tìm giá trị lớn nhất :

Ta có : $P\leq x+y+z\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=\sqrt{2}$

Dấu bằng xẩy ra khi một số bằng không và hai số còn lại bằng nhau

2) Tìm giá trị nhỏ nhất:

Ta chú ý điều sau:

$$a+abc\leq a+\frac{a(b^{2}+c^{2})}{2}=1-\frac{(a-1)^{2}(a+2)}{2}\leq 1$$

Do đó:

$$P\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$

Dấu bằng xẩy ra khi hai số bằng không

P/s: Bạn ở huyện nào trong Ninh Bình thế   

[vuminhhoang]

Lời giải:

1) Tìm giá trị lớn nhất :

Ta có : $P\leq x+y+z\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=\sqrt{2}$

Dấu bằng xẩy ra khi một số bằng không và hai số còn lại bằng nhau

2) Tìm giá trị nhỏ nhất:

Ta chú ý điều sau:

$$a+abc\leq a+\frac{a(b^{2}+c^{2})}{2}=1-\frac{(a-1)^{2}(a+2)}{2}\leq 1$$

Do đó:

$$P\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$

Dấu bằng xẩy ra khi hai số bằng không

P/s: Bạn ở huyện nào trong Ninh Bình thế   

hình như $x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$ chứ