Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$

[NgocHieuKHTN]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$

Dễ thấy VP $\geq 9$

Ta luôn có bđt sạu (tự CM vì nó dễ CM)

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

thay a+b=3-c ; b+c=3-a ; c+a=3-b

ta được $abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)$

nhân hết vế phải ra và thu gọn ta được 

$3abc\geqslant 4(ab+bc+ac)-9 \Leftrightarrow 12abc\geqslant 16(ab+bc+ac)-9$          (1)

lại có VT=$2(ab+bc+ac)^{2}-4abc(a+b+c)+3=2(ab+bc+ac)^{2}-12abc+3$                      (2)

từ (1) và (2) suy ra 

VT$\leqslant 2(ab+bc+ac)^{2}-16(ab+bc+ac)+39=2(ab+bc+ac-4)^{2}+7\leqslant 2(3-4)^{2}+7=9\leqslant VP$

($ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$) 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 

 

xin cái like nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 09-10-2014 - 06:20