Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$
Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$
#1
Đã gửi 08-10-2014 - 21:57
- vt2phuc, mnguyen99, chardhdmovies và 1 người khác yêu thích
Issac Newton
#2
Đã gửi 09-10-2014 - 06:18
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$
Dễ thấy VP $\geq 9$
Ta luôn có bđt sạu (tự CM vì nó dễ CM)
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
thay a+b=3-c ; b+c=3-a ; c+a=3-b
ta được $abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)$
nhân hết vế phải ra và thu gọn ta được
$3abc\geqslant 4(ab+bc+ac)-9 \Leftrightarrow 12abc\geqslant 16(ab+bc+ac)-9$ (1)
lại có VT=$2(ab+bc+ac)^{2}-4abc(a+b+c)+3=2(ab+bc+ac)^{2}-12abc+3$ (2)
từ (1) và (2) suy ra
VT$\leqslant 2(ab+bc+ac)^{2}-16(ab+bc+ac)+39=2(ab+bc+ac-4)^{2}+7\leqslant 2(3-4)^{2}+7=9\leqslant VP$
($ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
xin cái like nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 09-10-2014 - 06:20
- nguyenhongsonk612 và chardhdmovies thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh