Cho $f(x;y)=ax^2+2bxy+cy^2$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$.
Cho $D=ac-b^2>0$. Chứng minh rằng tồn tại $x,y\in \mathbb{Z}$, $x^2+y^2\neq 0$ để :
$$f(x;y)\leq 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2014 - 19:35
Cho $f(x;y)=ax^2+2bxy+cy^2$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$.
Cho $D=ac-b^2>0$. Chứng minh rằng tồn tại $x,y\in \mathbb{Z}$, $x^2+y^2\neq 0$ để :
$$f(x;y)\leq 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2014 - 19:35
Cho $f(x;y)=ax^2+2bxy+cy^2$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$.
Cho $D=ac-b^2>0$. Chứng minh rằng tồn tại $x,y\in \mathbb{Z}$, $x^2+y^2\neq 0$ để :
$$f(x;y)\leq 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$
Đây là một trường hợp của định lí Minkowski. Các bước chứng minh như sau (khối lượng tính toán nhiều )
Chỉ xét với $a\ge 0$, khi đó $f(x,y)\ge 0$. Gọi $S$ là tập hợp các cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $f(x,y)>0$. Đặt $$F=f(u,v)=\min_{(x,y)\in S}f(x,y)$$
thì $\text{UCLN}(u,v)=1$ nên tồn tại $s,t$ sao cho $us-vt=1$. Tiếp theo đặt hàm số $$g(x,y):=f(ux+ty,vx+sy)=f(u,v)x^2+2Bxy+f(s,t)y^2.$$
Vì $f(u,v)f(s,t)=B^2+D$ nên
\[g(x,y)=F\left(x+\frac{B}{F}y\right)^2+\frac{D}{F}y^2.\]
Đặt $m$ là số nguyên gần $\frac{B}{F}$ nhất thì $\left | m-\frac{B}{F} \right |\le \frac{1}{2}$. Dẫn tới
\[F\le g(m,-1)=F\left(m-\frac{B}{F} \right )^2+\frac{D}{F}\le \frac{F}{4}+\frac{D}{F}.\]
Bất đẳng thức cuối tương đương với yêu cầu đề bài.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh