Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $P(x^2)=P(x).P(x+2)$
#1
Posted 23-10-2014 - 20:24
#2
Posted 06-11-2014 - 21:54
Đầu tiền xét $P(x)$ là hàm hằng thì $P(x) \equiv 0 hoặc 1$
Tiếp theo, xét $P(x)$ khác hằng, khi đó với. Cho $x=1$ vào giả thiết ta có: $P(1).P(3)=P(1)$.
Từ đây nếu mà $P(3)=0$ thì thay $x=3$ ta lại có $P(9)=0$ quy nạp thì $P(3^n)=0$, nói cách khác $P(x) \equiv 0$, vô lý với trường hợp đang xét.
Vậy phải có $P(1)=0$
Đặt $P(x)=(x-1)^n.Q(x)$ trong đó $Q(1)$ khác 0.
Lúc này thay vào giả thiết ta lại có: $Q(x).Q(x+2)=Q(x^2)$
Từ đây, bằng cách lập luận tương tự ta thu được $Q$ là hàm đồng nhất 1.
Vậy $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^n$
- quangbinng likes this
#3
Posted 12-07-2015 - 23:42
Đầu tiền xét $P(x)$ là hàm hằng thì $P(x) \equiv 0 hoặc 1$
Tiếp theo, xét $P(x)$ khác hằng, khi đó với. Cho $x=1$ vào giả thiết ta có: $P(1).P(3)=P(1)$.
Từ đây nếu mà $P(3)=0$ thì thay $x=3$ ta lại có $P(9)=0$ quy nạp thì $P(3^n)=0$, nói cách khác $P(x) \equiv 0$, vô lý với trường hợp đang xét.
Vậy phải có $P(1)=0$
Đặt $P(x)=(x-1)^n.Q(x)$ trong đó $Q(1)$ khác 0.
Lúc này thay vào giả thiết ta lại có: $Q(x).Q(x+2)=Q(x^2)$
Từ đây, bằng cách lập luận tương tự ta thu được $Q$ là hàm đồng nhất 1.
Vậy $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^n$
Sao lại xét $P(3)=0$? Phải là $P(3)=1$ mới đúng chứ nhỉ?
Đã cam lấy bút làm chèo
Con thuyền nhân ái xin neo cuối trời.
Also tagged with one or more of these keywords: đt
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
i) $P(x)\geq P'(x)$ ii) $P'(x)\geq P''(x)$Started by 19kvh97, 24-08-2015 đt, kim văn hùng |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$F(x)=P(x) +P'(x)+P''(x)+P'''(x)+P^{(4)}(x)>0$Started by 19kvh97, 21-09-2014 đt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
CMR:$x^{4}+x^{b}+1\vdots x^{2}+x+1$Started by Dung Du Duong, 14-09-2014 đt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
CMR:$x^{3m}+x^{3n+1}+3^{3p+2}\vdots x^{2}+x+1$Started by Dung Du Duong, 12-09-2014 đt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1 \right )\Leftrightarrow n\vdots m$Started by Dung Du Duong, 12-09-2014 đt |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users