Chủ đề này có 1 trả lời

[Near Ryuzaki]

Bài toán : Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x+y^4)=f(x)+yf(y^3),\forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

[Hoang Tung 126]

Bài toán : Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x+y^4)=f(x)+yf(y^3),\forall x,y \in \mathbb{R}$$

-Cho $y=1,x=0= > f(1)=f(0)+f(1)= > f(0)=0$

 

-Cho $x=0= > f(y^4)=f(0)+yf(y^3)=yf(y^3)$

 

-Thay vào đề bài $= > f(x+y^4)=f(x)+f(y^4)= > f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $y\geq 0$

 

-Cho $x=-y= > f(0)=f(-y)+f(y)=0= > f(y)=-f(-y)$

 

Thay $x$ bởi $-x= > f(y-x)=f(y)+f(-x)=f(y)-f(x)$ (Do sử dụng công thức trên)

 

Ta có với mọi $x,y$ là các số thực thì $f(x+y)=f(x-(-y))=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y)$

    

     Do đó hàm f cộng tính trên R nên theo quy nạp thì $f(kx)=kf(x)$ với số tự nhiên k

 

   Ta có $f((x+1)^4-(x-1)^4)=f(8x^3+8x)=f(8x^3)+f(8x)=8x^2f(x)+8f(x)$

              

              $f((x+1)^4-(x-1)^4)=f((x+1)^4)-f((x-1)^4)=(x+1)^3f(x+1)-(x-1)^3f(x-1)=(x+1)^3(f(x)+f(1))-(x-1)^3(f(x)-f(1))=(6x^2+2)f(x)+(2x^3+6x)f(1)$

 

Từ đó $= > 8x^2f(x)+8f(x)=(6x^2+2)f(x)+(2x^3+6x)f(1)= > 2x^2f(x)+6f(x)=(2x^3+6x)f(1)= > f(x)=xf(1)=ax$

 

     Vậy $f(x)=ax$ thỏa mãn bài toán