Chủ đề này có 1 trả lời

[Phanbalong]

Cho $a+b+c=1$ , $a,b,c>0$ .Chứng minh rằng : ​ $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 30$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 28-10-2014 - 22:28

[kimchitwinkle]

Cho $a+b+c=1$ , $a,b,c>0$ .Chứng minh rằng : ​ $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 30$

Từ a +b + c = 1 => $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{1}{abc}$

Đặt P = $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{1}{abc}+\frac{1}{2\left ( ab+bc+ac \right )}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2\left ( ab+bc+ac \right )}$

AD bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\left ( \forall x;y> 0 \right )$ có :

           $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2\left ( ab+bc+ac \right )}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\left ( ab+bc+ac \right )}=\frac{4}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{4}{1}=4$                                                                                                                       (1)

 

AD bđt $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$ có:

$2\left ( ab+bc+ac \right )< 3\left ( ab+bc+ac \right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}=1\left ( \forall a;b;c> 0 \right )$

Cả 2 vế dương, lấy nghịch đảo được:

$\frac{1}{2\left ( ab+bc+ac \right )}> 1$                                                                                                                                         (2)

Ad bđt Cô si cho 3 số dương a, b, c có:

               $abc\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{27}=\frac{1}{27}$

Cả 2 vế dương, lấy nghịch đảo :

         $\frac{1}{abc}\geq 27$                                                                                                                                                         (3)

Cộng từng vế (1); (2) và (3) có :

$P\geq 4-1+27=30$

=> đpcm