Chủ đề này có 4 trả lời

[huy2403exo]

1. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh tam giác chu vi 2

Chứng minh $\frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2ab< 2$

2. Cho $\left | a \right |< 1$ Chứng minh :$\sqrt[4]{1-a^2}+\sqrt[4]{1-a}+\sqrt[4]{1+a}\leq 3$

3. Cho $x;y;z=0;1$ Chứng minh $(2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z})\leq \frac{81}{8}$

4. Cho 3 số thực $x;y;z>0$ Chứng minh 

                      $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(x+z)^4}$

5. Cho $a;b;c>0$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

6. Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$ Chứng minh : $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)$

7. Tìm $min$ $A=x^2+3x+y^2+3y+\frac{9}{x^2+y^2+1}$

8. Cho a;b;c dương $abc=1$

Chứng minh $\frac{1+ab^2}{c^3}+\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}\geq \frac{18}{a^3+b^3+c^3}$

9. a;b;c dương . Chứng minh : $\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

[nguyenhongsonk612]

 

9. a;b;c dương . Chứng minh : $\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a^2(b+c)}\geq \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sum \frac{1}{a} \end{pmatrix}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{bc}{a^2(b+c)}+\frac{b+c}{4bc}\geq \frac{1}{a}$

$\frac{ca}{b^2(c+a)}+\frac{c+a}{4ca}\geq \frac{1}{b}$

$\frac{ab}{c^2(a+b)}+\frac{(a+b)}{4ab}\geq \frac{1}{c}$

Cộng theo vế các BĐT trên ta được

$\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sum \frac{1}{a} \end{pmatrix}\geq \sum \frac{1}{a}\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a^2(b+c)}\geq \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sum \frac{1}{a} \end{pmatrix}$ (Đpcm)

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

[nguyenhongsonk612]

 

4. Cho 3 số thực $x;y;z>0$ Chứng minh 

                      $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(x+z)^4}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$VP\geq 3\sqrt[3]{\begin{bmatrix} \frac{8}{3}\sqrt[3]{x^2y^2z^2(x+y+z)} \end{bmatrix}}^4$

Cần C/m nốt $3\sqrt[3]{\begin{bmatrix} \frac{8}{3}\sqrt[3]{x^2y^2z^2(x+y+z)} \end{bmatrix}}^4\geq 16xyz(x+y+z)$

Biến đổi tương đương ta ra BĐT $(x+y+z)^3\geq 27xyz$ (luôn đúng vì đây là BĐT $AM-GM$ cho $3$ số)

$\Rightarrow$Đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z>0$

[nguyenhongsonk612]

 

6. Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$ Chứng minh : $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$VT\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{9}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.(a+b+c)=\frac{8}{3}(a+b+c)$

Cần C/m $\frac{8}{3}(a+b+c)\geq 2(1+a+b+c)\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$

BĐT này luôn đúng vì theo BĐT $AM-GM$ ta có $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 28-10-2014 - 23:56

[hoanglong2k]

5. Cho $a;b;c>0$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b+c\\ b=a+c\\ c=a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=0$ (vô lí)

Vậy $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}> 2$ (1)

Lại có $\frac{a}{a+b}-\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{-ac}{(a+b)(a+b+c)}<0\Rightarrow \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}\Rightarrow \sum \frac{a}{a+b}<\sum \frac{a+c}{a+b+c}=2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra Đpcm