3 replies to this topic

[mnguyen99]

Cho $x_{0}=0; x_{1}=1$, $x^{n+1}=4x_{n}-x_{n-1}$ và $y_{0}=1; y_{1}=2$, $y^{n+1}=y_{n}-y_{n-1}$.

Cm với mọi $n\geq 0$ thì $y_{n}^{2}=3x_{n}^{2}+1$

(1988 Canadian Mathematical Olympiad)

[Phuong Thu Quoc]

Cho $x_{0}=0; x_{1}=1$, $x^{n+1}=4x_{n}-x_{n-1}$ và $y_{0}=1; y_{1}=2$, $y^{n+1}=y_{n}-y_{n-1}$.

Cm với mọi $n\geq 0$ thì $y_{n}^{2}=3x_{n}^{2}+1$

(1988 Canadian Mathematical Olympiad)

Bạn xem lại cái đề xem!.

[mnguyen99]

Bạn xem lại cái đề xem!.

$y_{n+1}=4y_{n}-y_{n-1}$

[Phuong Thu Quoc]

$\left\{\begin{matrix} x_{0}=0; & x_{1}=1;& x_{n+2}=4x_{n+1}-x_{n} & \\ y_{0}=1; & y_{1}=2 & y_{n+2}=4y_{n+1}-y_{n}& \end{matrix}\right.$

Quy nạp thôi.!

Dễ thấy đẳng thức đúng với $n=0;1$

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$. Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$

Muốn vậy trước tiên ta phải chứng minh đẳng thức $\sqrt{\left ( 3x_{k}^{2} +1\right )\left ( 3x_{k-1}^{2} +1\right )}=3x_{k}x_{k-1}+2\Leftrightarrow x_{k}^{2}+x_{k-1}^{2}=4x_{k}x_{k-1}+1$ cũng bằng quy nạp.

Bởi $x_{k+1}^{2}+x_{k}^{2}=\left ( 4x_{k}-x_{k-1} \right )^{2}+x_{k}^{2}=16x_{k}^{2}-8x_{k}x_{k-1}+\left ( x_{k}^{2}+x_{k-1}^{2} \right )=16x_{k}^{2}-8x_{k}x_{k-1}+4x_{k}x_{k-1}+1=4x_{k}\left ( 4x_{k}-x_{k-1} \right )+1=4x_{k+1}x_{k}+1$

Từ đó $y_{k+1}^{2}=\left ( 4y_{k}-y_{k-1} \right )^{2}=16y_{k}^{2}-8y_{k}y_{k-1}+y_{k-1}^{2}=16\left ( 3x_{k}^{2}+1 \right )+\left ( 3x_{k-1}^{2}+1 \right )-8\sqrt{\left ( 3x_{k}^{2}+1 \right )\left ( 3x_{k-1}^{2}+1 \right )}=16\left ( 3x_{k}^{2}+1 \right )+\left ( 3x_{k-1}^{2}+1 \right )-8\left ( 3x_{k}x_{k-1}+2 \right )=3\left ( 4x_{k}-x_{k-1} \right )^{2}+1=3x_{k+1}^{2}+1$