Giúp mình bài này với
Tìm GTNN:
A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$ ($a,b,c>0$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeaynzs: 02-11-2014 - 11:05
Giúp mình bài này với
Tìm GTNN:
A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$ ($a,b,c>0$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeaynzs: 02-11-2014 - 11:05
Ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}
=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})
\geq (a+b+c)(\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{2(a+b+c)}) =(a+b+c)\frac{27}{2(a+b+c)}=\frac{27}{2}$
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
Ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}
=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})
\geq (a+b+c)(\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{2(a+b+c)}) =(a+b+c)\frac{27}{2(a+b+c)}=\frac{27}{2}$
Theo mình $\frac{27}{2}$ chưa phải là GTNN đâu. Với a=b=c=1 thì A=7,5 <$\frac{27}{2}$
Giúp mình bài này với
Tìm GTNN:
A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$
Đặt $M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$
$\Rightarrow M+3=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$
$\Rightarrow M+3=\frac{1}{2}\left [ (a+b)+(b+c)+(a+c) \right ](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})\geq \frac{1}{2}.3^2=4,5$ (bdt Cauchy-Schwars)
Đặt $N=\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\geq 2+2+2=6$
$\Rightarrow A=M+N\geq (4,5-3)+6=7,5$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 02-11-2014 - 10:47
Chung Anh
Theo mình $\frac{27}{2}$ chưa phải là GTNN đâu. Với a=b=c=1 thì A=7,5 <$\frac{27}{2}$
À mình quên chưa trừ 6
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
Sai hết rồi, đề có có dương đâu mà Cauchy-Schwarz với Cauchy. Khẳng định là đề thiếu điều kiện $a,b,c>0$
Uk, đúng rồi, mình sơ suất quá, ghi thiếu đk
Giúp mình bài này với
Tìm GTNN:
A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$ ($a,b,c>0$)
đặt $A_{1}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$
$A_{2}=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}$
Do đó :$A=A_{1}+A_{2}$
Dễ c/m:$A_{1}\geqslant \frac{3}{2}$ (1)
Có: $A_{2}=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant (a+b+c)\frac{9}{a+b+c}-3=6$
Do đó: $A_{2}\geqslant 6$ (2)
Lấy (1) cộng (2)=>$A\geqslant 7,5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 04-11-2014 - 21:02
#oimeoi #
Giúp mình bài này với
Tìm GTNN:
A=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$ ($a,b,c>0$)
Áp dụng AM - GM, ta có
$\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\geq 1$
Tương tự, ta có
$\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{4b}\geq 1$
$\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{4c}\geq 1$
Mặt khác, theo AM - GM, có
$\frac{3}{4}\sum \frac{b+c}{a}\geq \frac{9}{2}$
Suy ra min=$\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}$
Dấu bằng khi $a=b=c$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh