Chủ đề này có 1 trả lời

[zipienie]

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=0$. Đặt $a=\sqrt{x^2+xy+y^2}, b=\sqrt{y^2+yz+z^2}, c=\sqrt{z^2+zx+x^2}$, với $a,b,c$ là các số dương. 

Hỏi $a,b,c$ có thể là ba cạnh của một tam giác hay không?

[hoanglong2k]

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=0$. Đặt $a=\sqrt{x^2+xy+y^2}, b=\sqrt{y^2+yz+z^2}, c=\sqrt{z^2+zx+x^2}$, với $a,b,c$ là các số dương. 

Hỏi $a,b,c$ có thể là ba cạnh của một tam giác hay không?

Với x=0 thì y=0 hoặc z=0 nên a=0 hoặc c=0

tương tự với y=0 hay z=0

Với x,y,z khác 0 ta có:

Ta có thể dễ dàng c/m $a+b\geq c$ bằng BĐT minkowski:

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}=\sqrt{(\frac{x}{2}+y)^2+(\frac{x\sqrt3}{2})^2}+\sqrt{(-\frac{z}{2}-y)^2+(\frac{z\sqrt3}{2})^2}\geq \sqrt{x^2+xz+z^2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{y+\frac{x}{2}}{-y-\frac{z}{2}}=\frac{\frac{x\sqrt3}{2}}{\frac{z\sqrt3}{2}}\Leftrightarrow \frac{2y+x}{-2y-z}=\frac{x}{z}\Leftrightarrow 2yz+xz=-2xy-xz\Leftrightarrow xy+yz+zx=0$ (đúng theo gt) hay a+b=c

Vậy a,b,c không thể là 3 cạnh của 1 tam giác

----------------------------------------------

Không biết làm vậy có được không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 27-11-2014 - 22:01