Chủ đề này có 1 trả lời

[deathavailable]

Chứng minh rằng không tồn tại đa thức bậc 2 với hệ số nguyên nhận $\sqrt[3]{3}$ làm nghiệm

Ps: Mới bắt đầu nghiên cứu mảng này nên công lực còn non kém :") Mong được chỉ bảo :"))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 10-11-2014 - 20:17

[tuananh2000]

Lời giải :

Giả sử tồn tại đa thức bậc 2 với hệ số nguyên $P(x)=ax^{2}+bx+c (a\neq 0)$ thì 

$a\sqrt[3]{9}+b\sqrt[3]{3}+c=0$

$\Leftrightarrow (a\sqrt[3]{9}+b\sqrt[3]{3}+c)(a\sqrt[3]{3}-b)=0$

$\Leftrightarrow 3a^{2}-bc-(b^{2}-ac)\sqrt[3]{3}=0$

Do $a;b;c \in Z$ và $\sqrt[3]{3}\in I$ nên $\left\{\begin{matrix} 3a^{2}-bc=0 ($1$) & \\ b^{2}-ac=0 ($2$) & \end{matrix}\right.$

Nhân cả 2 vế của ($1$) với $a$ và ($2$) với b , trừ cho nhau được :

$3a^{3}-b^{3}=0$ 

$\Leftrightarrow b=a\sqrt[3]{3}($3$)$

Do $b \in Z$ nên từ ($3$) xảy ra khi $a=b=0$ (Mâu thuẫn do $a\neq 0$)

KL: