Chủ đề này có 2 trả lời

[bluered]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z\leq3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 12-11-2014 - 13:58

[Chung Anh]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z\leq3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}$

Ta có $P=3-(\frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{2}{z+2})$

Có $9(\frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{2}{z+2})\geq[(x+2)+(y+2)+(z+2)](\frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{2}{z+2})\geq(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2=18$(BDT Cauchy Schwarz)

     =>$\frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{2}{z+2}\geq2$

     =>$P\leq3-2=1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 12-11-2014 - 18:33

[dogsteven]

Bổ đề: Với mọi $x\geqslant 0$, ta luôn có: $\dfrac{9x}{x+2}\leqslant 2x+1$

 

Thật vậy, nó tương đương với: $\dfrac{2(x-1)^2}{x+2} \geqslant 0$

 

Áp dụng vào: $P\leqslant \dfrac{2(x+y+z)+3}{9}\leqslant 1$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-11-2014 - 19:44