Chủ đề này có 3 trả lời

[Phanbalong]

Chứng minh  rằng : $333^{333}+555^{555}+777^{777}$ không thể là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 12-11-2014 - 18:14

[snowwhite]

Các số chính phương đều có các chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$.Vậy cần xét xem chữ số cuối cùng của tổng trên là chữ số nào, nếu tìm được chữ số cuối cùng  $0,1,4,5,6,9$ thì có khả năng là số chính phương hoặc không. Nhưng nếu xác định được chữ số cuối cùng không thuộc các chữ số trên thì chắc chắn  đó không phải là số chính phương. 

[Phanbalong]

Các số chính phương đều có các chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$.Vậy cần xét xem chữ số cuối cùng của tổng trên là chữ số nào, nếu tìm được chữ số cuối cùng  $0,1,4,5,6,9$ thì có khả năng là số chính phương hoặc không. Nhưng nếu xác định được chữ số cuối cùng không thuộc các chữ số trên thì chắc chắn  đó không phải là số chính phương. 

Tận cùng là 5 và xét chẳng được

[snowwhite]

Tận cùng là 5 và xét chẳng được

Nếu vậy thì chắc phải xét đến $2,3,...$ chữ số tận cùng rồi     

 

Xác định 2 chữ số cuối cùng xem sao

 

$333^{3}  \equiv 37 (mod 100)$

 

$333^{30}  = [(333^3)^2]^5  \equiv (37^2)^5  \equiv 69^5  \equiv 49 (mod 100)$

 

$\Rightarrow 333^{333} \equiv 333^{33} \equiv 333^3.333^{30}\equiv 37.49 \equiv 13 (mod 100)$

 

$555^5 = 555^2.555^3  \equiv 25.75 \equiv 75 (mod 100)$

 

$555^{50} = (555^5)^{10} \equiv 75^{10} \equiv 25$

 

$\Rightarrow 555^{555} \equiv 555^{55} \equiv 555^5.555^{50}\equiv 75.25 \equiv 75 (mod 100)$

 

$777^7 = (777^2)^2.777^3 \equiv 41.33 \equiv 53$

 

$777^{70} = (777^7)^{10} \equiv 53^{10} \equiv 49$

 

$\Rightarrow 777^{777} \equiv 777^{77} \equiv 777^7.777^{70}\equiv 53.49 \equiv 97 (mod 100)$

vậy 2 chữ số cuối cùng của tổng trên là $13+75+97 \equiv 85 (mod 100)$

Tổng này không thể là số chính phương được rồi