Chủ đề này có 3 trả lời

[huy2403exo]

1. Cho $a;b;c$ thoả mãn $a>b>c>0$

Chứng minh : $\frac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}< \frac{b}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}$

2. Cho $x;y;z>0$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2\geq 1$

Chứng minh $\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\geq 1$

3. Cho $x;y;z$ không âm thoả mãn $2x+7y=2014$ và $3x+5z=3031$

Tìm GTLN của $A=x+y+z$

4. Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh tam giác .Chứng minh :

                         $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)$

[baotranthaithuy]

4. vì a ; b  ;  c là 3 cạnh của tam giác suy ra 

$\left | a-b \right |<c \Rightarrow a^{2}-2ab+b^{2}<c^{2}$

$a^{2}-2ac+c^{2}<b^{2}$

$b^{2}-2cb+c^{2}<a^{2}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}<2ab+2ac+2bc$

[hoanglong2k]

2.

Dùng Swarchz và Cauchy ta có:

$VT=\sum \frac{x^4}{xy}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy+yz+zx}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2}= x^2+y^2+z^2\geq 1$

4. Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác $\Rightarrow a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\Rightarrow \sum a^2< 2(ab+ac+bc)$

[baotranthaithuy]

$a>b>c>0$ suy ra$ a+b>a+c ;a-b<a-c$

$\Rightarrow \sqrt{a+b}>\sqrt{a+c};-\sqrt{a-b}>-\sqrt{a-c}$
$ \Rightarrow \sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}>\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}>0 $

$\Rightarrow \frac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}<\frac{b}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}$