Chủ đề này có 1 trả lời

[nangbuon]

Cho $a,b >0$ và $a+b=1$. Tim GTNN cua $P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\left ( a+\frac{1}{b} \right )^2+\left ( b+\frac{1}{a} \right )^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 18-11-2014 - 18:06

[Chung Anh]

Cho a,b >0 va a+b=1. Tim GTNN cua $P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\left ( a+\frac{1}{b} \right )^2+\left ( b+\frac{1}{a} \right )^2$

*Bổ đề 1 $x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)$

              $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Cminh:biến đổi tương đương

$P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+a^2+2.\frac{a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+2.\frac{b}{a}+\frac{1}{a^2}$

  $=2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})+a^2+b^2+2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$

Ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}.(\frac{4}{a+b})^2=\frac{1}{2}.(\frac{4}{1})^2=8$

          $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}.(a+b)^2=\frac{1}{2}$

          $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

 $\Rightarrow P\geq 2.8+\frac{1}{2}+2.2=\frac{41}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 17-11-2014 - 17:11