Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$
Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$
#1
Đã gửi 21-11-2014 - 16:29
#2
Đã gửi 21-11-2014 - 17:55
Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$
$\left [(b+c)+(c+a) +(a+b) \right ].P\geq (a^3+b^3+c^3)^2$(Cauchy-Schwarz)
$\Rightarrow 2(a+b+c).P\geq (a^3+b^3+c^3)^2$
$\Rightarrow 2(a+b+c).P.(a+b+c)^2\geq (a^3+b^3+c^3)^2.(a+b+c)^2$
$\Rightarrow 2(a+b+c)^3.P\geq [(a^3+b^3+c^3).(a+b+c)]^2\geq [(a^2+b^2+c^2)^2]^2=(a^2+b^2+c^2)^4$(Cauchy-Schwarz)
Lại có $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$
$\Rightarrow 2(a+b+c)^3.P\geq [\frac{(a+b+c)^2}{3}]^4=\frac{(a+b+c)^8}{3^4}$
$\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^5}{3^4.2}\geq \frac{(3\sqrt[3]{abc})^5}{3^4.2}=\frac{3^5}{3^4.2}=\frac{3}{2}$(AM-GM)
Vậy $MinP=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$
- shinichikudo201, nguyenhongsonk612, khanghaxuan và 1 người khác yêu thích
Chung Anh
#3
Đã gửi 21-11-2014 - 18:58
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$\dfrac{a^6}{b+c}+\dfrac{b+c}{4} \geqslant a^3$$
Tương tự với các thành phần còn lại.
$$P \geqslant a^3+b^3+c^3-\dfrac{a+b+c}{2}=a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1-\dfrac{a+b+c}{2}-6 \geqslant \dfrac{5}{2}(a+b+c)-6 \geqslant \dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
- shinichikudo201, nguyenhongsonk612, khanghaxuan và 2 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#4
Đã gửi 22-11-2014 - 18:46
Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$
Cũng là sử dụng Bunhiacopxki nhưng mình dùng dạng phân thức
Giải
Áp dụng BĐT S-vác ta có
$P\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{(a+b+c)^3}{9} \end{pmatrix}^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^5}{162}\geq \frac{3^5}{162}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P$ min $=\frac{3}{2}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
- binhnhaukhong và boykovipk602 thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 22-11-2014 - 19:22
Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$
Thêm 1 ý tưởng khác là dùng BĐT Trê-bư-sép và Nestbit
$$\frac{a^6}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}\geq \frac{1}{3}.\left ( a^5+b^5+c^5 \right ).\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq \frac{1}{3}.3.\sqrt[3]{a^5.b^5.c^5}.\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
- leduylinh1998, nguyenhongsonk612 và boykovipk602 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh