Chủ đề này có 4 trả lời

[boykovipk602]

Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$

[Chung Anh]

Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$

$\left [(b+c)+(c+a) +(a+b) \right ].P\geq (a^3+b^3+c^3)^2$(Cauchy-Schwarz)

$\Rightarrow 2(a+b+c).P\geq (a^3+b^3+c^3)^2$

$\Rightarrow 2(a+b+c).P.(a+b+c)^2\geq (a^3+b^3+c^3)^2.(a+b+c)^2$

$\Rightarrow 2(a+b+c)^3.P\geq [(a^3+b^3+c^3).(a+b+c)]^2\geq [(a^2+b^2+c^2)^2]^2=(a^2+b^2+c^2)^4$(Cauchy-Schwarz)

Lại có $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow 2(a+b+c)^3.P\geq [\frac{(a+b+c)^2}{3}]^4=\frac{(a+b+c)^8}{3^4}$

$\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^5}{3^4.2}\geq \frac{(3\sqrt[3]{abc})^5}{3^4.2}=\frac{3^5}{3^4.2}=\frac{3}{2}$(AM-GM)

Vậy $MinP=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$\dfrac{a^6}{b+c}+\dfrac{b+c}{4} \geqslant a^3$$

Tương tự với các thành phần còn lại.

$$P \geqslant a^3+b^3+c^3-\dfrac{a+b+c}{2}=a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1-\dfrac{a+b+c}{2}-6 \geqslant \dfrac{5}{2}(a+b+c)-6 \geqslant \dfrac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[nguyenhongsonk612]

Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$

Cũng là sử dụng Bunhiacopxki nhưng mình dùng dạng phân thức

Giải

Áp dụng BĐT S-vác ta có

$P\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{(a+b+c)^3}{9} \end{pmatrix}^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^5}{162}\geq \frac{3^5}{162}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow P$ min $=\frac{3}{2}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[le_hoang1995]

Cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN $P=\frac{a^{6}}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}$

Thêm 1 ý tưởng khác là dùng BĐT Trê-bư-sép và Nestbit

$$\frac{a^6}{b+c}+\frac{b^6}{c+a}+\frac{c^6}{a+b}\geq \frac{1}{3}.\left ( a^5+b^5+c^5 \right ).\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq \frac{1}{3}.3.\sqrt[3]{a^5.b^5.c^5}.\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$