Chủ đề này có 2 trả lời

[shinichikudo201]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương. Chứng minh:

$2(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014})\geq a^{2013}(b+c)+b^{2013}(a+c)+c^{2013}(a+b)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 28-11-2014 - 14:12

[le_hoang1995]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương. Chứng minh:

$2(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014})\geq a^{2013}(b+c)+b^{2013}(a+c)+c^{2013}(a+b)$

Áp dụng BĐT Cosi cho 2014 số, ta được

$$2013.a^{2014}+b^{2014}\geq 2014.\sqrt[2014]{a^{2013.2014}.b^{2014}}=2014.a^{2013}.b$$

Tương tự, ta được $$2013.a^{2014}+c^{2014}\geq 2014.\sqrt[2014]{a^{2013.2014}.c^{2014}}=2014.a^{2013}.c$$

Cộng lại ta được $$2.2013.a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}\geq 2014.a^{2013}.(b+c)$$

Hoàn toàn tương tự, thêm hai BĐT nữa, cộng lại, ta được ĐPCM

[dogsteven]

Theo bất đẳng thức hoán vị;

$$a^{2014}+b^{2014}+c^{2014} \geqslant a^{2013}.b+b^{2013}.c+c^{2013}.a$$

$$a^{2014}+b^{2014}+c^{2014} \geqslant a^{2013}.c+b^{2013}.a+c^{2013}.b$$