$2,$ cho hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $(a,b)=1$.Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^{2^k}+b^{2^k}(k\in \mathbb{N}^*)$
CMR $p\equiv 1(mod 2^{k+1})$
NTP
Lời giải:
Nhắc lại một bổ đề cơ bản về cấp :
Mọi ước nguyên tố lẻ $p$ của số $a^{2}+1 (a>1)$, đều thỏa mãn : $p\equiv 1 ( mod 2^{n+1})$
chứng minh:
Từ giả thiết suy ra $a^{2^{n+1}} -1 $ chia hết cho p ;
Đặt $ord_{p}(a)=h;$ Suy ra $2^{n+1}\vdots h$ . Theo fecmat thì $p-1\vdots h$
Nếu $h<2^{n+1}$ tức $2^{n} \vdots h$; Suy ra $a^{2} -1 \vdots p$.Kết hợp giả thiết ta có $2 \vdots p$ ( Vô lí vì $p$ là số nt lẻ)
Vậy $h=2^{n+1}$, do đó : $$p\equiv 1 ( mod 2^{n+1})$$
Quay trở lại bài toán :
Nếu $(b,p) \neq 1$. từ giả thiết bài toán , ta suy ra $a \vdots p$và $(a,b) \vdots p$. hay $1 \vdots p$ ( Vô lí )
Vậy $(b,p) = 1.$ Do đó tồn tại $b'$ sao cho $bb' \equiv 1 (mod p)$
Ta có :
$0\equiv b'^{2^{k}}(a^{2^k}+b^{2^k})=(ab')^{2^k}+(bb')^{2^k}\equiv (ab')^{2^k}+1 (mod p);\\$
$\Rightarrow (ab')^{2^k}+1 \equiv 0 ( mod p)\\$
$\Rightarrow (ab')^{2}+1 \equiv 0 ( mod p)$
Sử dụng bổ đề trên, ta có đpcm.
-------------------------------------------------------------------