Chủ đề này có 2 trả lời

[chardhdmovies]

$1,$ cho $a,b$ nguyên và $p$ là số nguyên tố có dạng $8k+5(k\in \mathbb{N})$

CMR $a^2+2b^2\vdots p\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\vdots p\\b\vdots p \end{matrix}\right.$

$2,$ cho hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $(a,b)=1$.Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^{2^k}+b^{2^k}(k\in \mathbb{N}^*)$

CMR $p\equiv 1(mod 2^{k+1})$

 

NTP

 

[caybutbixanh]

 

$2,$ cho hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $(a,b)=1$.Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $a^{2^k}+b^{2^k}(k\in \mathbb{N}^*)$

CMR $p\equiv 1(mod 2^{k+1})$

 

NTP

Lời giải:

Nhắc lại một bổ đề cơ bản về cấp :

Mọi ước nguyên tố lẻ $p$ của số $a^{2}+1 (a>1)$, đều thỏa mãn : $p\equiv 1 ( mod 2^{n+1})$

chứng minh:

Từ giả thiết suy ra $a^{2^{n+1}} -1 $ chia hết cho p ;

Đặt $ord_{p}(a)=h;$ Suy ra $2^{n+1}\vdots h$ . Theo fecmat thì $p-1\vdots h$

Nếu $h<2^{n+1}$ tức $2^{n} \vdots h$; Suy ra $a^{2} -1 \vdots p$.Kết hợp giả thiết ta có $2 \vdots p$ ( Vô lí vì $p$ là số nt lẻ)

Vậy $h=2^{n+1}$, do đó : $$p\equiv 1 ( mod 2^{n+1})$$

 

Quay trở lại bài toán :

 

 Nếu $(b,p) \neq 1$. từ giả thiết bài toán , ta suy ra $a \vdots p$và $(a,b) \vdots p$. hay $1 \vdots p$ ( Vô lí )

Vậy $(b,p) = 1.$ Do đó tồn tại $b'$ sao cho $bb' \equiv 1 (mod p)$

Ta có :

$0\equiv b'^{2^{k}}(a^{2^k}+b^{2^k})=(ab')^{2^k}+(bb')^{2^k}\equiv (ab')^{2^k}+1 (mod p);\\$

$\Rightarrow (ab')^{2^k}+1 \equiv 0 ( mod p)\\$

$\Rightarrow (ab')^{2}+1 \equiv 0 ( mod p)$

Sử dụng bổ đề trên, ta có đpcm.

-------------------------------------------------------------------

[lahantaithe99]

$1,$ cho $a,b$ nguyên và $p$ là số nguyên tố có dạng $8k+5(k\in \mathbb{N})$

CMR $a^2+2b^2\vdots p\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\vdots p\\b\vdots p \end{matrix}\right.$

 

NTP

Bài 1:

 

Giả sử $a,b$ không chia hết cho $p$ tức là $(a,p)=(b,p)=1$

 

Áp dụng định lý Fermat có $\left\{\begin{matrix} a^{p-1}= (a^4)^{2k+1}\equiv 1 (mod p) & \\ (4b^4)^{2k+1}\equiv 4^{2k+1} (mod p) & \end{matrix}\right.\Rightarrow 4^{2k+1}-1\equiv (a^2+2b^2)(...)\equiv 0 (mod p)$

 

Hay $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1$ (mod $p$ ) $(1)$

 

Theo tiêu chuẩn Euler thì $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv \left ( \frac{2}{p} \right )$ (mod $p$ )

 

Mà do $p$ là số nguyên tố có dạng $8k+5$ nên $\left ( \frac{2}{p} \right )=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\equiv -1$ (mod $p$ ) $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta thấy mâu thuẫn nên suy ra đpcm