Chủ đề này có 5 trả lời

[nmtuan2001]

Cho $0\leq x,y,z \leq 2, x+y+z=3$. Tìm GTNN, GTLN của $A = x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 05-12-2014 - 11:31

[Nguyen Minh Hai]

Xin phép tìm GTNN:
- Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=1+a & & & \\ y=1+b& & & \\ z=1+c& & & \end{matrix}\right.$

 Với $-1\leq a,b,c\leq 1$

$\Rightarrow a+b+c=0$

Ta có: 
$A=(1+a)^4+(1+b)^4+(1+c)^4-12abc$

Khai triển ta được: $A=(a^4+b^4+c^4)+4(a^3+b^3+c^3)+6(a^2+b^2+c^2)+4(a+b+c)+3-12abc$

Vì $a+b+c=0$ nên: $\left\{\begin{matrix} 4(a+b+c)=0 & & \\ 4(a^3+b^3+c^3)=12abc& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A=(a^4+b^4+c^4)+6(a^2+b^2+c^2)+4\geq 3$

$\Rightarrow MIN_{A}=3$ khi $a=b=c=0$ hay $x=y=z=1$

[dogsteven]

Giả sử $x\geqslant y \geqslant z \Rightarrow 1-x\leqslant 0$

Đặt $f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$

$$f(x,y,z)-f(x,y+z,0)=y^4+z^4-(y+z)^4+12yz(1-x) \leqslant 0$$

Đặt $s=x, t=y+z$ thì ta có:

$$f(x,y,z)\leqslant f(s,t,0)=2(s-1)(s-2)(s^2-3s+10)+17 \leqslant 17$$

Đẳng thức holds khi và chỉ khi $(x,y,z)\sim (2,1,0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 05-12-2014 - 16:57

[nguyenhongsonk612]

Xin phép tìm GTNN:
- Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=1+a & & & \\ y=1+b& & & \\ z=1+c& & & \end{matrix}\right.$

 Với $-1\leq a,b,c\leq 1$

$\Rightarrow a+b+c=0$

Ta có: 
$A=(1+a)^4+(1+b)^4+(1+c)^4-12abc$

Khai triển ta được: $A=(a^4+b^4+c^4)+4(a^3+b^3+c^3)+6(a^2+b^2+c^2)+4(a+b+c)+3-12abc$

Vì $a+b+c=0$ nên: $\left\{\begin{matrix} 4(a+b+c)=0 & & \\ 4(a^3+b^3+c^3)=12abc& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A=(a^4+b^4+c^4)+6(a^2+b^2+c^2)+4\geq 3$

$\Rightarrow MIN_{A}=3$ khi $a=b=c=0$ hay $x=y=z=1$

 

Cho $0\leq x,y,z \leq 2, x+y+z=3$. Tìm GTNN, GTLN của $A = x^4+y^4+z^4+12(1-x)(1-y)(1-z)$

Mình xin phép được bổ sung cách của bạn Nguyen Minh Hai

Ta có $a+b+c=0$ $\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất $2$ số cùng dấu. Giả sử $2$ số đó là $a$ và $b$ $\Rightarrow ab\geq 0$

Với $a,b,c \in [-1;1]$, ta có nhận xét sau $a^4\leq a^2\leq |a|$

$\Rightarrow A\leq 7\begin{pmatrix} |a|+|b|+|c| \end{pmatrix}+3=7\begin{pmatrix} |a+b|+|c| \end{pmatrix}+3=7\begin{pmatrix} |-c|+|c| \end{pmatrix}+3=14|c|+3\leq 17$

Vậy $A$ min $=3$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$

       $A$ max $=17$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=0;y=1;z=2$ và các hoán vị. 

[Nguyen Minh Hai]

Mình xin phép được bổ sung cách của bạn Nguyen Minh Hai

Ta có $a+b+c=0$ $\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất $2$ số cùng dấu. Giả sử $2$ số đó là $a$ và $b$ $\Rightarrow ab\geq 0$

Với $a,b,c \in [-1;1]$, ta có nhận xét sau $a^4\leq a^2\leq |a|$

$\Rightarrow A\leq 7\begin{pmatrix} |a|+|b|+|c| \end{pmatrix}+3=7\begin{pmatrix} |a+b|+|c| \end{pmatrix}+3=7\begin{pmatrix} |-c|+|c| \end{pmatrix}+3=14|c|+3\leq 17$

Vậy $A$ min $=3$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$

       $A$ max $=17$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=0;y=1;z=2$ và các hoán vị. 

Thanks bạn.... Bạn có thể chỉ cho mọi người biết mấu chốt bài toán nào mà bạn đưa ra được cách giải đó k?

Cùng học hỏi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 05-12-2014 - 21:19

[nguyenhongsonk612]

Thanks bạn.... Bạn có thể chỉ cho mọi người biết mấu chốt bài toán nào mà bạn đưa ra được cách giải đó k?

Cùng học hỏi

Tớ nghĩ những bài có điều kiện $a_1;...;a_n \in [m;n]$ và $a_1+...+a_n=k$ thì đặt $x_1=a_1-\frac{k}{n};...;x_n=a_n-\frac{k}{n}\Rightarrow x_1+...+x_2=0$

Rồi làm tương tự như các bước trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 06-12-2014 - 01:54