cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\x+y+z=2 \end{matrix}\right.$
cmr $\sqrt{x^3y+y^3z+z^3x}+\sqrt{xy^3+yz^3+zx^3}\leq 2$
$\sqrt{\sum x^3y}+\sqrt{\sum xy^3}\leq 2$
Bắt đầu bởi killerdark68, 11-12-2014 - 15:00
#1
Đã gửi 11-12-2014 - 15:00
killerdark68
-
- Thành viên
-
- 266 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 11-12-2014 - 15:27
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sqrt{a^3b+b^3c+c^3a}+\sqrt{ab^3+bc^3+ca^3} \leqslant \sqrt{2\left[ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)\right]}$$
Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$, ta có:
$$\Leftrightarrow bc(b^2+c^2-3ab-3ac) \leqslant 0 \Leftrightarrow \sum_{cyc} ab(a^2+b^2) \leqslant a(b+c)[a^2+(b+c)^2] \leqslant \dfrac{(a+b+c)^4}{8}=2$$
Hoàn tất chứng minh.
- chardhdmovies, killerdark68, demon311 và 1 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 11-12-2014 - 17:59
demon311
-
- Thành viên
-
- 202 Bài viết
Thượng sĩ
Mod xóa giùm cái
=================================================
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demon311: 11-12-2014 - 18:02
Ngoài ngoại hình ra thì ta chả có cái gì cả =))
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
