Chủ đề này có 4 trả lời

[Viet Hoang 99]

1) Cho $abc=1$. Tìm Max $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}$

 

2)Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a^6+b^6+c^6=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 3$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-12-2014 - 21:16

[vipboycodon]

Bài 1 có điều kiện gì không

[huybyeutoan1]

cho$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & & \\ abc=1& & \end{matrix}\right.$

cmr $(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

[hoangtubatu955]

1) Cho $abc=1$. Tìm Max $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}$

 

2)Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a^6+b^6+c^6=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 3$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

 Câu1. Chứng minh Max=1.
Chỉ cần biến đổi tương đương được: $\sum a^2b^2 \ge 3 $ đúng theo AM_GM, do $abc=1$.

[dogsteven]

 Câu1. Chứng minh Max=1.
Chỉ cần biến đổi tương đương được: $\sum a^2b^2 \ge 3 $ đúng theo AM_GM, do $abc=1$.

 

Đặt $a=\dfrac{x}{y}, b=\dfrac{y}{z}, c=\dfrac{z}{x}$

$$\sum \dfrac{1}{a^2+2}=\sum \dfrac{b^2}{a^2+2b^2} \leqslant 1 \Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2}{a^2+2b^2} \geqslant 1$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{a^2}{a^2+2b^2} \geqslant \dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}=1$$