Với a, b, c $\geq 0$ và $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$
Cm
$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ac+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 23-12-2014 - 16:56
Với a, b, c $\geq 0$ và $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$
Cm
$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ac+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 23-12-2014 - 16:56
<3 Mãi mãi một tình yêu <3
赵薇苏有朋
Với a, b, c $\geq 0$ và $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$
Cm
$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ac+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq3$
Điều kiện : $\sum ab=\frac{1}{3}\Rightarrow \sum a\sqrt{3}.b\sqrt{3}=1$
Đặt : $\left\{\begin{matrix} a\sqrt{3}=cotgA & & \\ b\sqrt{3}=cotgB & & \\ c\sqrt{3}=cotgC & & \end{matrix}\right.$
Từ đó ta thấy với cách đặt như thế thì điều kiện của bài toán thỏa mãn nên ĐPCM tương đương :
$\sum \frac{1}{\frac{1}{tan^{2}A}-\frac{1}{tanB.tanC}+1}\leq 3$
Biến đổi tương đương ta được :
$\sum \frac{tanA(\sum tanA)}{\sum tanA.tanB}\leq 3$
mà Bdt hoán vị vòng quanh nên : $\frac{\sum tanA.\prod tanA}{\sum tanA.tanB}\leq 3$ (*)
mà (*) luôn đúng do :
$VT\leq \frac{\sum tanA.tanB}{3}$
Tới đây áp dụng BĐT JENSEN ta được : $VT\leq \frac{(3\sqrt{3})^{2}}{9}=3$
Vậy BĐT chứng minh xong !!!!
P/s : Bài này khá hay.
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -còn đây là một lời giải của một bạn bên TQ
http://www.artofprob...p?f=51&t=618509
rất hay rất ngắn gọn, súc tích, lời văn phong phú gợi hình gợi cảm v..v.
phải công nhận bên Trung Hoa rất lắm người tài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 23-12-2014 - 20:37
<3 Mãi mãi một tình yêu <3
赵薇苏有朋
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh