Chủ đề này có 2 trả lời

[tohoproirac]

    Với a, b, c $\geq 0$ và $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$    

    Cm 

$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ac+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 23-12-2014 - 16:56

[khanghaxuan]

    Với a, b, c $\geq 0$ và $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$    

    Cm 

$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ac+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq3$

Điều kiện :    $\sum ab=\frac{1}{3}\Rightarrow \sum a\sqrt{3}.b\sqrt{3}=1$  

 

Đặt :              $\left\{\begin{matrix} a\sqrt{3}=cotgA & & \\ b\sqrt{3}=cotgB & & \\ c\sqrt{3}=cotgC & & \end{matrix}\right.$ 

 

Từ đó ta thấy với cách đặt như thế thì điều kiện của bài toán thỏa mãn nên ĐPCM tương đương :          

 

                                             $\sum \frac{1}{\frac{1}{tan^{2}A}-\frac{1}{tanB.tanC}+1}\leq 3$   

 

Biến đổi tương đương  ta được :                

 

                                    $\sum \frac{tanA(\sum tanA)}{\sum tanA.tanB}\leq 3$   

 

mà Bdt hoán vị vòng quanh nên :                       $\frac{\sum tanA.\prod tanA}{\sum tanA.tanB}\leq 3$   (*)

 

mà (*) luôn đúng do  :                              

 

                            $VT\leq \frac{\sum tanA.tanB}{3}$  

 

Tới đây áp dụng BĐT JENSEN ta được :      $VT\leq \frac{(3\sqrt{3})^{2}}{9}=3$   

 

Vậy BĐT chứng minh xong !!!!  

 

P/s : Bài này khá hay.

[tohoproirac]

còn đây là một lời giải của một bạn bên TQ

http://www.artofprob...p?f=51&t=618509

rất hay rất ngắn gọn, súc tích, lời văn phong phú gợi hình gợi cảm    v..v.

phải công nhận bên Trung Hoa rất lắm người tài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 23-12-2014 - 20:37