Chủ đề này có 1 trả lời

[nhungvienkimcuong]

cho hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(n+1)+f(n-1)=kf(n)$  $\forall n\in \mathbb{N}$

hãy tìm các giá trị của $k$ để $f$ là hàm tuấn hoàn

Spoiler

bài này đáp số là $k=2cos\pi t(t\in \mathbb{Q})$ nhưng mình không biết làm

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-12-2014 - 21:02

[Idie9xx]

cho hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(n+1)+f(n-1)=kf(n)$  $\forall n\in \mathbb{N}$

hãy tìm các giá trị của $k$ để $f$ là hàm tuấn hoàn

Spoiler

bài này đáp số là $k=2cos\pi t(t\in \mathbb{Q})$ nhưng mình không biết làm

 

U-Th

Nhìn bài này quen quen hóa ra là giống bài này  http://diendantoanho...̀m-tuần-hoàn/

Đầu tiên ta đặt $f(n)=u_nf(1)-u_{n-1}f(0), \forall n\geq 2$

Với $u_n$ là dãy thỏa $u_0=0,u_1=1, u_n=ku_{n-1}-u_{n-2}$

Nếu $|k|>2$ thì $u_n=A(\frac{k+\sqrt{k^2-4}}{2})^n+B(\frac{k-\sqrt{k^2-4}}{2})^n$

thì hàm $f$ không thể là hàm tuần hoàn khi $n$ càng lớn.

Nếu $|k|\leq 2$ đặt $k=2\cos(x)$ thì $u_n=\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}$ ( hỏi mấy thánh về dãy )

$\Rightarrow f(n)=\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}f(1)-\frac{\sin((n-1)x)}{\sin(x)}f(0)$

Giả sử hàm $f$ tuần hoàn theo chu kì $p$ thì ta có $f(n)=f(n+p)$

$\Rightarrow \frac{\sin(nx)}{\sin(x)}f(1)-\frac{\sin((n-1)x)}{\sin(x)}f(0)=\frac{\sin(nx+px)}{\sin(x)}f(1)-\frac{\sin((n-1)x+px)}{\sin(x)}f(0)$

Giờ ta đồng nhất thức ( không biết có được xài không :v ) thì sẽ ra kết quả là $px=2q\pi$

$\Rightarrow k=2\cos(t\pi),t=\frac{2q}{p}$