1 reply to this topic

[vietlan1983]

Tìm các số tự nhiên n để (n²-8)²+36 là số nguyên tố?

[Nguyen Minh Hai]

Tìm các số tự nhiên n để (n²-8)²+36 là số nguyên tố?

Đặt $(n^2-8)^2+36=p$ ($p$ nguyên tố).
Khi đó: $p \geq 36 \Rightarrow p$ lẻ.
$\Rightarrow n$ lẻ.
Đặt $n=2k+1$ ($k$ tự nhiên)
$\Rightarrow p=[(2k+1)^2-8]^2+36=(2k+1)^4-16(2k+1)^2+100=16k^4+32k^3-40k^2-56k+85=(4k^2-8k+5)(4k^2+17k+17)$

Vì $p$ nguyên tố và $4k^2-8k+5<4k^2+16k+17$ nên:
$4k^2-8k+5=1 \Leftrightarrow k=1 \Rightarrow n=3$ 

Edited by Nguyen Minh Hai, 07-01-2015 - 20:44.