cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm max
B=$\left ( a+b+c+3 \right )\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1}\right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 15-01-2015 - 23:51
B=$\left ( a+b+c+3 \right )\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1}\right )$
Bắt đầu bởi babystudymaths, 12-01-2015 - 20:15
#2
Đã gửi 29-04-2021 - 10:59
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm max
B=$\left ( a+b+c+3 \right )\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1}\right )$
Đặt $a+1=x,b+1=y,c+1=z$ thì $1\leqslant x,y,z\leqslant 2$ và $B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Bài này quá quen thuộc, mình sẽ trích dẫn lại (chỉ đổi biến): Giả sử $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$ nên $\frac{a}{b}\leqslant 1,\frac{b}{c}\leqslant 1,\frac{c}{b}\geqslant 1,\frac{b}{a}\geqslant 1\Rightarrow (\frac{a}{b}-1)(\frac{b}{c}-1)+(\frac{c}{b}-1)(\frac{b}{a}-1)\geqslant 0\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leqslant \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2$
Cũng do $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$ nên $\frac{a}{c}\geqslant \frac{1}{2},\frac{a}{c}<2\Rightarrow (2-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leqslant 0\Rightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leqslant \frac{5}{2}$
Như vậy: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\leqslant 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leqslant 10(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
