Chủ đề này có 1 trả lời

[dhdhn]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right | & & & & & \\ 2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right |& & & & & \end{matrix}\right.$

[KantouA11]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right | & & & & & \\ 2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right |& & & & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right | (1) & & & & & \\ 2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right | (2)& & & & & \end{matrix}\right.$

Lấy (1) - (2)

$\Rightarrow 2\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{3}+4} + \sqrt{\frac{3}{2}}\left | x \right |=2\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{3}+4} + \sqrt{\frac{3}{2}}\left | y \right |$

Xét hàm số $f(t)= 2\sqrt[4]{\frac{t^{4}}{3}+4} + \sqrt{\frac{3}{2}}\left | t \right |$

$\Rightarrow f(t)=f(x)=f(y)$

$\Rightarrow x=y$

Thay vào (1) $\Rightarrow$

Ta có $f(t)' = \frac{2t^3}{3\sqrt[4]{(\frac{t^4}{3}+4)^{3}}}+\sqrt{\frac{3}{2}}$ 

$f(0)' = \sqrt{\frac{3}{2}}$ > 0

$f(t)'  = \frac{2t^3}{3(|t|)^3\sqrt[4]{(\frac{1}{3}+\frac{4}{t^4})^{3}}}+\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{2}{3\sqrt[4]{(\frac{1} {3}+\frac{4}{t^4})^{3}}}+\sqrt{\frac{3}{2}} > 0 (\forall t\neq 0)$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên R $\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất x=y=...