Chủ đề này có 1 trả lời

[thuynhung22]

Tìm GTLN và GTNN của đa thức $P(x)=\dfrac{x^2+4x-2}{x^2+3}$ và các giá trị tương ứng của x

[hoaihhbg]

Gọi a là một giá trị của $P(x)$ thì phương trình sau phải có nghiệm: $\frac{x^2+4x-2 }{ x^2+3}=a$

$\Leftrightarrow ax^2 +3a = x^2 + 4x-2 \Leftrightarrow (a-1)x^2 -4x+3a +2=0(1)$

Nếu $a=1$ thì $(1)$ trở thành: $x^2 - 4x+5=0 \Leftrightarrow $ x=1 \vee x=4$

Nếu $a \neq$ thì $(1)$ trở thành phương trình bậc 2 ẩn x tham số a.

(2) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '= 4 -(a-1)(3a+2) \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow 4-3a^2 + a +2 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{75}}{6}\leqslant a\leqslant\frac{1+ \sqrt{75}}{6}$

Ta thấy $\frac{1-\sqrt{75}}{6}\leqslant 1$ và $1\leqslant \frac{1+ \ sqrt{75}}{6}$

$\Leftrightarrow $ GTNN của $P(x)$ là $\frac{1-\sqrt{75}}{6}$ khi $x= \frac{5 - \sqrt{73}}{4}$

 

$\Leftrightarrow $ GTLN của $P(x)$ là $\frac{1+\sqrt{75}}{6}$ khi $x= \frac{5 +  \sqrt{73}}{4}$