Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Nhan Trung]

Tìm tất cả các hàm f:Z->Z thỏa mãn:

 

$f(2m+f(m)+f(m)f(n))= nf(m)+m$

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm f:Z->Z thỏa mãn:

 

$f(2m+f(m)+f(m)f(n))= nf(m)+m$

Cho $n=0$ dễ thấy hàm toàn ánh.

Cho $m$ sao cho $f(m)\neq 0$ Ta có thể chứng minh được hàm đơn ánh.

Cho $n=1,m=0\Rightarrow f(f(0)(f(1)+1))=f(0)\Rightarrow f(0)(f(1)+1)=0$

$\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(1)=-1$

Nếu $f(0)=0$

Cho $n=0,m=-2$ ta có $f(-4+f(-2))=-2$

Cho $n=-2,m=-4+f(-2)\Rightarrow f(-8+2f(-2)-2-2f(-2))=(-2).(-2)+(-4+f(-2))\Leftrightarrow f(-10)=f(-2)$

Mâu thuẫn với $f$ đơn ánh.

Nếu $f(1)=-1$

Cho $n=1\Rightarrow f(2m)=f(m)+m$

$\Rightarrow f(2)=f(1)+1=0\Rightarrow f(4)=f(2)+2=2$

Cho $m=1,n=4\Rightarrow f(1-f(4))=-3\Rightarrow f(-1)=-3$

Cho $n=-1\Rightarrow f(2m-2f(m))=m-f(m)$

$\Rightarrow f(2(m-f(m)))=m-f(m)\Rightarrow f(m-f(m))=0$

$\Rightarrow m-f(m)=2\Rightarrow f(m)=m-2$

Thử lại xem đúng không