Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Long Le]

Cho $a,b,c>0$. C/m: $\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\geq a+b+c$

[nhungvienkimcuong]

Cho $a,b,c>0$. C/m: $\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\geq a+b+c$

ta có $\left ( \sum \frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2} \right )\left ( \sum \frac{a^2(b^2+c^2)}{b+c} \right )\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

do đó ta cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)\sum \frac{a^2(b^2+c^2)}{b+c}$

mặt khác ta có $\sum \frac{a^2(b^2+c^2)}{b+c}=\sum a^2(b+c)-2abc\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum a^2(b+c)-3abc$

do đó ta cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)\left [ \sum a^2(b+c)-3abc \right ]$

$\Leftrightarrow \sum a^4+abc\sum a\geq \sum a^3(b+c)$

bđt này luôn đúng do là khai triển của bđt $schur$ do đó có $Q.E.D$

 

U-Th

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c>0$. C/m: $\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\geq a+b+c$

Ta có: $\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}=a+\frac{a^2(b+c)-a(b^2+c^2)}{b^2+c^2}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{b^2+c^2}$.

Tương tự thì ta có:

$\sum\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}=a+b+c+\sum\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{b^2+c^2}=a+b+c+\sum ab(a-b)(\frac{1}{b^2+c^2}-\frac{1}{c^2+a^2})=a+b+c+\sum\frac{ab(a-b)^2(a+b)}{(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \geq a+b+c$

Xảy ra dấu "=" khi $a=b=c$

[KietLW9]

Cho $a,b,c>0$. C/m: $\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\geq a+b+c$

Ta có:

$VT-VP=\frac{ab(a-b)^2(a+b)}{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+\frac{bc(b-c)^2(b+c)}{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}+\frac{ca(c-a)^2(c+a)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 0$