Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyen Duc Phu]

Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương. Chứng minh rằng

$x^4+y^4\geq \frac{(x+y)^4}{8}$ ($a$, $b$ là các số thực)

[dogsteven]

Hằng đẳng thức $(x+y)^4=x^4+y^4+4xy(x^2+y^2)+6x^2y^2$ cho ta bất đẳng thức tương đương $(x-y)^2(7x^2+10xy+7y^2)\geqslant 0$

Bất đẳng thức này luôn đúng do $7x^2+7y^2+10xy=7\left(x+\dfrac{5y}{7}\right)^2+\dfrac{24}{7}y^2\geqslant 0$

[Nguyen Duc Phu]

Hằng đẳng thức $(x+y)^4=x^4+y^4+4xy(x^2+y^2)+6x^2y^2$ cho ta bất đẳng thức tương đương $(x-y)^2(7x^2+10xy+7y^2)\geqslant 0$

Bất đẳng thức này luôn đúng do $7x^2+7y^2+10xy=7\left(x+\dfrac{5y}{7}\right)^2+\dfrac{24}{7}y^2\geqslant 0$

Sao ra cái này $(x-y)^2(7x^2+10xy+7y^2)\geqslant 0$?

[Nguyen Huy Hoang]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(1^2+1^2)(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2  <=> x^4+y^4 \geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}$ (1)

Mặt khác, tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} $(2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 04-02-2015 - 18:59

[dogsteven]

Sao ra cái này $(x-y)^2(7x^2+10xy+7y^2)\geqslant 0$?

Chuyển vế qua được bất đẳng thức tương đương với $7(x^4+y^4)-4xy(x^2+y^2)-6x^2y^2\geqslant 0$

$3(x^4+y^4-2x^2y^2)=(x-y)^2(3x^2+6xy+3y^2)$

và

$4(x^4+y^4)-4xy(x^2+y^2)=4(x^4+y^4-2x^2y^2)-4xy(x^2+y^2-2xy)=(4x^2+4y^2+8xy)(x-y)^2-4xy(x-y)^2=(x^2+y^2+4xy)(x-y)^2$

Cộng lại được $7(x^4+y^4)-4xy(x^2+y^2)-6x^2y^2=(x-y)^2(7x^2+7y^2+10xy) \geqslant 0$

Và bạn ở trên hãy coi kỹ, chỉ dùng biến đổi tương đương.

[dogsteven]

Đặt $a=\dfrac{x}{x+y}$ và $b=\dfrac{y}{x+y}\Rightarrow a+b=1$. Bất đẳng thức trên tương đương với $8(a^4+b^4)\geqslant 1=2(2a+2b-2)+1=4a-\dfrac{3}{2}+4b-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{(2a-1)^2[(2a+1)^2+2]}{2}+\dfrac{(2b-1)^2[(2b+1)^2+2]}{2}\geqslant 0$ luôn đúng.